chądzyński 9

172 11. FUNKCJE HARMONICZNE I SUBHARMONICZNE

stałe a, b G M takie, ze dla dowolnego r G (Ri,R₂) mamy

27r

(*)

(1/27r) J u(zo + re^lt) dt = b + aLogr.

Rozwiązanie. Na mocy twierdzenia 1.62.1 istnieją stała a£li funku / holomorficzna w takie, że

(1) u(z) = cxLog\z — z₀\+ Ref(z) dla z G Niech

+oo

(2) / {z) = ^2, ^an (^z ~ ^z°)ⁿ dla z e pl.

71= — OO

Weźmy teraz dowolne r G połóżmy w (2) z = Zq + re

scałkujmy obie strony względem t w przedziale (0,27r). Wówczas, po uwzględnieniu tego, że J_Q^27T e^mtdt = 0 dla n/0, dostajemy

27r

(3) (1/27T) I f (z₀ + re^lt) dt = a₀.

Z (1) dla z = z₀ + re^lt i (3) mamy

2tr

(1/27t) y* u (z₀ + re^u) dt = Re(a₀) + a Logr,

co daje (*).

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 6. Pokazać, ze funkcję harmoniczną i ograniczoną w sąsiedztwie punktu można rozszerzyć harmonicznie na ten punkt.

Rozwiązanie. Niech PI = {zgC:0<|z — zq\ < R} i niech funkcja u : Pl —► R będzie harmoniczna i ograniczona. Wówczas, na mo<py wniosku 1.63.2 i uwagi na końcu § 1.63, Zq jest punktem pozornie osobliwym funkcji u. Zatem w myśl własności 1.63.1 funkcja u rozszer: się harmonicznie na punkt Zq.

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 7. Niech G C C będzie obszarem i niech u : G —* M będzie funkcją harmoniczną. Pokazać, ze jeśli funkcja u osiąga ekstremum lokalne, to jest stała.

Rozwiązanie. Przypuśćmy, że w pewnym punkcie a £ G funkcja u osiąga ekstremum lokalne. Wówczas istnieje takie otoczenie K_a tego punktu, że funkcja u\x_a osiąga w punkcie a ekstremum globalne. Zatem na mocy twierdzenia 1.60.3 funkcja u\x_a jest stała. Stąd, na mocy twierdzenia 1.60.2, funkcja u jest stała w G.

To kończy rozwiązanie. □

Zadanie 8. Niech K = {z G C : \z\ < r} i C będzie dodatnio zorientowanym brzegiem K. Pokazać, ze jeśli f jest funkcją holomorficzną w K, to dla dowolnego z G K mamy

(*)

Rozwiązanie. Ustalmy dowolny punkt 2: G K. Wówczas funkcja h określona wzorem h (w) = zf (w) / (r² — zw) jest holomorficzna w K. Z twierdzenia Caucłiy’ego