chądzyński9

112 6. FUNKCJE REGULARNE

Istotnie, istnieje C > 0 takie, że dla dostatecznie dużych \z\

< C

(3)

I fiW

Q i(z)

Ponieważ |expiaz| — exp( -\xna.z) < 1 dla 2 leżących na krzywej Cr, więc z (3) i z własności 1.19.4 dostajemy oszacowania

( ~r{dz\ <wCR~^l i I f    iazdz

JCr QlC) \ ~    \Jcn

Stąd dostajemy (2) Z (1) mamy

(4)

ISW T«*l

J Cr Qi^Z)    ^RZ Jc

fi U)

Qi(z) fi (U

< ttCR

-i

(5)

P(z) .    ,    >1 f

exp iazdz — — /

B Jc

=^{A/B)wi+LW)^dz

fiW

exp ?.az

dz 4-

exp iazdz.

c_R Q{z)    B J_Cr z ~~ ' Qi(z)

Przechodząc w (4) do granicy przy i? —> -foo i korzystając z (2), dostajemy (*).

Natomiast przechodząc w (5) do granicy przy i? —*• +oo, korzystając z (2) i z zadania 5.1.5, dostajemy (**).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Obliczyć całkę

/-f-oo oo

cos £dt

(t² + a²)(£² + ó²)’    ;

I

gdzie a > 0, b > 0, a ^ b.

Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem m    ^exP^

11 /    JO / 2 i 2 W 2 i \ *

(z² + a/)(z² -f- ćr)

.Jest to funkcja meroinorficzna w C. Ma ona jedynie cztery bieguny jednokrotne w punktach z\ — ia, 2:₂ = i&, 23 — — ia, z₄ = -ib. Obliczmy

residua funkcji / w punktach z_lf 2₂- W myśl zadania 6.3.4 mamy

z—ib

exp(—a) 1 (—a² 4- b²) 2ia ’ exp(—b) 1 (a² — b²) 2ib ’

res_Zl/ = res _Z2f =

exp iz 1

(z² 4- b²) 2z exp iz 1

(z² 4- a²) 2z

Stąd mamy

2z(6² — a²) \oexpa 6exp6

(2) res_zJ_k 4-res₂₂/ —

Niech dalej liczba R będzie większa od max(a, b). Wówczas z zadania 6.2.3 i własności 1.35.1 mamy

(3)

ind r/iOfc)

4!

dla k = 1,2, dla fc = 3, 4.

Z (1), (2) i (3) na mocy twierdzenia 1.40.3 (o residuach) dla dowolnego R > max(o, 6) dostajemy

(4)

f f{z)di

J r_H

2tri

1

1

2ż(ó² — a²) \ a exp a b exp b

7T    /    1    1

(6² — a²) \a exp a    b exp bJ

Z drugiej strony mamy

(5)    f f(z)dz= [ f(z)dz+ f f{z)dz.

JT_r    Jl-R.R]    JCn

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R 4-00. Przechodząc do całki zwyczajnej i korzystając z tego, że w przedziale {—R,R) symetrycznym względem 0 całka z funkcji nieparzystej jest równia zeru, dostajemy

f f(z)dz= [ f(t)dt= f J\-R,R\    J~R    J-

exp it

__R (t² 4- a²)(t² 4- b²)

dt

L

L

cost

_R (t² 4- a²)(t² 4- b²)

R

cos t

_R(t*+ <?)(? + V)

di 4- i

•/

sin t

__R (t² 4- a²)(t² + b²)

dt

dt.