chądzyński5

124 6. FUNKCJE REGULARNE

Z powyższego drogą łatwej indukcji dostajemy, że wszystkie całki I_k istnieją i    j

((1 -3*) + t(l + 3*j)) .

k

(10)    h + (?)(*»)*“'4 = -^2

/=0

Stąd dla k — 0 mamy Io =    a dla > 1

^{h =} ~T(i-)ⁱ⁺'^{((1_3i) + t(1 + 3t))_}

To kończy rozwiązanie.

A-I

i-o

a

Zadanie 2. Niech Q 0 będzie funkcją wymierną o współczynnikach rzeczywistych, biegunach b₁,... ,b_n £ C\K₊ i niech a £ M\Z. Połaźmy I(a) := f£°x^aQ(x)dx. Pokazać, ze.    "■

(a) Całka I(a) jest zbieżna dokładnie wtedy, gdy zachodzą warunki

(*)    a -f I T ordo Q > 0 i a + 1 T deg Q < 0.

(b) Jeśli zachodzą warunki (*). to

___r~\j ■TT"    ń

I(od) =--:-y2 ^res^ (*“3 (^z)) 1

sin cck '

7re

/=!

gdzie z⁰¹ — exp [a (Log (—z) + 7rź)], z 6 C \ R+.

Rozwiązanie. Niech p := ord₀Q, q := degQ. Z określenia ordo i deg Q w^mika., że istnieją stałe dodatnie C',C, Dj D, r₀, fxo takie, że

(1)    C \z\^p <\Q{z)\<C \z\^p dla 0 < \z\ < r₀,

(2)    D¹ \z\^q < |Q (z)| < D\z\^q dla \_z\ > R^.

(a). Załóżmy najpierw, że zachodzą warunki (*). Pokażemy, że całka l{a) jest zbieżna. Ponieważ funkcja M 3 x > x^aQ(x) € Kj jest ciągła, wystarczy pokazać bezwzględną zbieżność całek [“ x^aQ(xjdx, f^° x^aQ(x)dx dla pewnych a, A £ M. Połóżmy a — r₀ i A = : Rq. Wtedy, z (1) i z pierwszej nierówności w (*), dla dowolnego 0 < rj'.< a mamy

\x“Q(x)\dx < C / x^a+pdx < C-,    :

~    ./„    aH-p+1    ;

co daje zbieżność całki /₀“ \x^aQ{x)\ dx. Z (2) i z drugiej nierówności (*) dla dowolnego M > A mamy

rM    rM    /ia-ł-ę+1

/ \x^aQ(x)\dx < D / x^a+qdx < — D-,

Ja    ~ Ja    a + q+ l'

co daje zbieżność całki \x°‘Q(x)\dx. H,easmnując, całka I(a) istnieje.

Odwrotnie, załóżmy że całka /(oj istnieje. Przypuśćmy, że nie zachodzi (*). Gdy a-fl+p<0, to z założenia a ^ Z mamy

(3)    a + l+ p< 0.

Funkcja Q jest rzeczywista i wymierna, zatem dla pewnego 0 < a < r_Q funkcja (0, a) B x x^aQ(x) jest stałego znaku. Stąd dla dowolnego 0 < rj < a mamy

f x^aQ(x)dx .

(4)    f \x^aQ(x)\dx =

Jr,

Z (1) i (4) dostajemy

C f x^a+pdx <

Jt)

(5)

Z (3) wynika, że dla 77 —> 0⁺ całka po lewej stronie (5) dąży do +00. Zatem całka /_Q^a x^aQ(x)dx jest rozbieżna, co daje rozbieżność całki /(a).

Gdy a + 1 + q > 0, to podobnie jak w poprzednim przypadku, mamy

(6)    a + 1 + q > 0

x^aQ (x) jest stałego

i dla pewnego A > R₀ funkcja (A, 00) B x znaku. Zatein dla dowolnego M > A mamy

rM    rM    I

(7)    j \x^aQ(x)\dx = J x^aQ{x)dx . Z (2) i (7) dostajemy

(8)

rM

D' / x^a+qdx < Ja

x^aQ(x)dx

Z (6) wynika, że całka po lewej stronie (8) dąży do 00, gdy M 00. Zatem całka f^° x^aQ(x)dx jest rozbieżna, co daje również rozbieżność całki /(a).

Reasumując, warunki (*) są konieczne dla istnienia całki /(aj.