chądzyński9

132 6. FUNKCJE REGULARNE

Ze wzoru na residuum funkcji w biegunie dwukrotnym dostajemy

(z² + 2 (1 /a) z + l)² (zi (a) + Z2 (a))

(z~z₂(a)) J_z=Zi{Q)

i es_zi

2(1 /a)

{z\ (a) — z₂ (a))³    [2(1/a) P {a)]³    4[P(a)]³

Stąd, z (4) i (3) mamy

i

2tt

dt

'o (1 + acos t)~ ia To kończy rozwiązanie

5 =    • ^2lTi

2tt

4[P(a)]³    (a)]

3*

□

6.8. Twierdzenie o istnieniu gałęzi logarytmu

Zadanie 1. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech\ f : G —> C^x będzie funkcją holomorficzną. Pokazać, że jeśli dla do ulotnie dużego n istnieje gałąź pierwiastka n-tego stopnia z funkcji f, to istnieje w G gałąź logarytmu tej funkcji.

Rozwiązanie. Pokażemy najpierw, że

(i) dla dowolnej krzywej regularnej zamkniętej T przebiegającej w

G    '    !

L

/'(*)

r fi^z)

dz = 0.

Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje krzywa regularna zamknięta. T taka, że

(1)

/

ng

m

dz = A ^ 0.

W myśl założenia istnieją liczba naturalna n > \A\/'2ir i funkcja ciągła cp_n : G —> C^x takie, że funkcja ip_n jest gałęzią pierwiastka n-tego stopnia z funkcji /, tzn. że    !

(2)    b„(z)]ⁿ = f(z) dla z e G.

W myśl zadania 4.1.6 funkcja <p_n jest łiolomorficzna. Stąd i z (2) marny

f(z) = n[v?_n(z)]ⁿ Vń00 dla zeG

i w konsekwencji z (1) dostajemy (3)    ^{A = n}Jf

W

dz.

Z określenia liczby n i z (3) mamy \ f_T[<p'_n(z)/(p_n(z)]dz\ < 2n. Stąd i z zadania 6.2.1 otrzymujemy

Pn(^z)

(4)

[ fli

JT ‘Pn

W

dz ~ 0.

Z (3) i (4) dostajemy A = 0, co jest sprzeczne z (1).

Reasumując, zachodzi (i). Zatem, na mocy twierdzenia 1.20.3, funkcja f/f ma funkcję pierwotną w G i w konsekwencji, w myśl lematu 1.41.1, istnieje w G gałąź logarytmu funkcji /.

To kończy rozwiązanie.    □