img106

zony jeszcze raz zróżniczkować względem zmiennej x< (Ui.4n). Wówczas, korzystając ze wzoru (6.4} na stronie , otrzymujemy

du

3^5—|i(»,v.(x)>- |i-<x.u(x;).^₃-'x,u(x ■1 « _    * .1    . j_K .H—------

[U <».>■.(,))]

))

■(x) ■

a	t4”(*»^u) d		. a	S^^(x,u)
^dxi	l a	u«u(x)	du	Lis

u=*u(x)

3‘u'cłx~ (*#u(x)) . £^{x,u(*)) - j-^-(x ,u(x)) • ^—5 (x,u(x))

[U <»•-<« »T

3u

Ponieważ liczby a₁,...,a_n# b*u(a) sę rozwiązaniem układu (9.3), więc Jyj (o,u(e)) « 0.(3 - 1,...,n) oraz (a) .^0 (i ■ i z równości (9.4) wynika, Zo

££7- <••»)

^dV^xj ‘⁸⁾ " " |i (a.b)

ó²u

(i.J ■ 1,..,,n)

(9.5)

tir ten sposób wyliczyliśmy elementy macierzy generującej drugj róż-niczkę d u(a), która bardzo często decyduje o tym, czy w punkcie stacjonarnym a funkcja uwikłana ma ekstremum lokalne.

Z przedstawionych wyżej rozważań wynika. Ze jeśli a? spełnione od-oowiednie załoZenia, to punkty ekstremalne funkcji uwikłanej u określonej przez równanie (9.1) możemy wyznaczyć w ten spo9Ób, te najpierw rozwiązujemy układ równań (9.3), a następnie badamy formę kwadratów? generowań? przez macierz, której elementy wyliczany ze wzoru (9,5).

Taka procedura nie wymaga rozwikływenla równania (9.1) względem u, co ma duże znaczenie praktyczne w konkretnych zadaniach rachunkowych.

Przykład

Niech f(x,u) - (x²*u²)² - 2a²(x²-u²) ■ 0, gdzie («,u)cR² oraz a>0. Aby wyznaczyć wartości ekstremalne funkcji uwikłanej u;x—wu(x) określonej równaniem f(x,u) = 0, należy nejpierw rozwl?zać układ równań