23333

Zestaw 4 b

Operatory, transformacje

1. Korzystając ze wzoru na gradient funkcji skalarnej f(x. y, z) w układzie kartezjańskim XYZ, obliczyć gradienty funkcji:

a)    f(x,y,:) = 2-

b)    r(x,y,c) = |f| = (x² + / + c^J)^>!

2.    Oblicz dywergencję i rotację następujących pól wektorowych:

(a)    r=xj+yj+zfc

(b)    W = (v^J + :'■) I + (:^! + .r^!) j + Cv^! + x^:) li

3.    Dwie cząstki oddalają się od siebie w kierunkach prostopadłych z relatywistycznymi prędkościami v,= 0.75c i v₂= 0.9c ( c - prędkość światła). Wyznaczyć prędkość cząstki 2 widzianą przez obserwatora związanego z cząstka 1. Wyznacz również tę prędkość stosując transformacje Galileusz.

4.    Cząstka w układzie stacjonarnym S, znajduje się w położeniu określonym równaniem:

x, (t,) = 30 t,*10t,²

gdzie t, jest mierzone w sekundach, a x, w metrach. Znaleźć wyrażenia na położenie, prędkość i przyspieszenie wyznaczone przez obserwatora poruszającego się w dodatnim kierunku osi x z prędkością 10 m/s. Przyjąć transformację Galileusza. Założyć, że w chwili gdy układy S, i S₂ pokrywają się ze sobą, t,=f₂=0.

5. Wyznaczyć prędkość i pęd cząstki o masie spoczynkowej m₀, której energia kinetyczna równa jest podwojonej energii spoczynkowej