089(1)

( ²’j/r)’( ^lł

wartości y ze wzoru na funkcję badaną, np. Teraz sporządzamy wykres funkcji (rys. 78).

6) I, IT. Funkcja y = x-j-2arc ctg x jest określona i ciągła na całej osi liczbowej.

III. Nie jest to funkcja parzysta ani nieparzysta, ani też okresowa.

V. a) Asymptot pionowych brak. b) Mamy

k .lim A = limfl₊^5^ctl£

^->4; CO X    \    X

oraz

bi — lim (y—kx) = lim 2arc ctgx = 2arc ctg(+oo) = 0

X —> -f* OC

b₂ — lim {y—kx) — lim 2arc ctgx = 2arc ctg(—oo) = 2n

A więc wykres funkcji ma dwie asymptoty ukośne: y = x i y = x-\-2n.

VI. Pochodna y — 1—    — ~_x2 j \ istnieje wszędzie i jest równa

zeru, gdy x — ±1; są to punkty krytyczne. Badamy je, określając w nich

4 Y

znak drugiej pochodnej: /'=--₍    y"(- 1) < 0 i y"(l) > 0. Zatem

x = — 1 jest punktem maksimum, a x — 1 — punktem minimum, przy czym y_max = y(~ 1) =    - -1 oraz >-_mf„ = y(l) = —=4-1.

W przedziałach ( oo, — 1) i (l,4-oo), gdzie y' > 0, funkcja rośnie, a w przedziale (—1, 1), gdzie y' < 0, funkcja maleje.

VII.    Druga pochodna y" =    _;; istnieje wszędzie i równa się zeru

w punkcie x = 0. Określając znak y" na prawo i lewo od tego punktu, np. y"(—\) < 0 oraz /'(l) > 0> stwierdzamy, że dla jc = 0 wykres funkcji ma punkt przegięcia. Na lewo od tego punktu, w przedziale (—oo, 0), w którym y" < 0, wykres funkcji jest wypukły, a na prawo, w przedziale (0, +oo),

gdzie y" > 0, wykres jest wklęsły. Rzędna punktu przegięcia y(0) =    •

VIII.    Zgodnie z wynikami badania sporządzamy wykres funkcji (rys. 79).

7)* I, II. Funkcja y — \e^x—1| jest określona i ciągła na całej osi liczbowej.

III.    Nie jest to funkcja parzysta ani nieparzysta, ani też okresowa.

IV.    Funkcja jest wszędzie nieujemna; wykres jej przechodzi przez początek układu współrzędnych.

V.    a) Wykres funkcji nie ma asymptot pionowych.

b) Rozpatrujemy oddzielnie przypadek, gdy x -> +oo i gdy x -> — oo; mamy e* -*• +oo dla x -» +oo oraz e^x 0 dla x -» —co. Gdy > 0, y — e^x — 1, skąd

v    e^x — 1    e^x

k = lim —= lim-= lim — = + oo

co oznacza, że w tym przypadku wykres funkcji nie ma asymptoty. Z kolei, gdy x < 0, y — 1—e^x, czyli

k = lim — = lim-—— = 0

x—>— oo X    X

oraz

b = lim (y—kx) = lim(l — e^x) = 1

X-*~ OO

181