8 (26)

152

8. Pewne funkcje specjalne

Ze wzoru na iloczyn wynika także równość

(28)

_mS£tąsm

ł-0 h

= E(z) lim

HO

£(z);

ostatnia równość wynika bezpośrednio ze wzoru (25).

Iterując wzór (26), otrzymujemy

(29)    E(z₁+z₂+~+z„) = E(z_i)E{z₂)...E(z„).

Przedstawmy tu Zj = ... = z„ = 1. Ponieważ £(1) = e, gdzie e jest liczbą, określoną w definicji 3.30, otrzymamy

(30)    £(n) = e" {n = 1,2,3,...).

Jeżeli p = n/m, gdzie n i m są liczbami naturalnymi, to

(31)    [£(p)r = E(mp) = £(«) = e", więc

(32)    E(p) = e^p (p > 0, p - liczba wymierna).

Z (27) wynika, że £(-p) = e^-p, gdzie p jest dodatnie i wymierne. Zatem (32) jest spełnione przy dowolnym, wymiernym p.

W zadaniu 6 z rozdziału 1 podana jest taka definicja:

(33)    x^y = supx^p,

gdzie kres górny wzięty jest dla zbioru wszystkich wymiernych liczb p takich, że p < y (x^y definiujemy dla dowolnego rzeczywistego y i x > 1). Jeżeli zatem określimy dla dowolnego x rzeczywistego

(34)    e^x = supe^p (p < x,p — liczba wymierna),

to z ciągłości i monotoniczności funkcji £ oraz z równości (32) otrzymamy

(35)    £(x) = e^x

dla dowolnego x rzeczywistego. Równość (35) tłumaczy, dlaczego funkcję E(z) nazywamy wykładniczą.

Często zamiast e^x będziemy używać notacji exp(x) wygodniej szczególnie wtedy, gdy x jest wyrażeniem o skomplikowanej postaci.

W istocie zamiast równości (34) można przyjąć równość (35) jako definicję funkcji e^x; ta ostatnia jest znacznie wygodniejsza przy wyprowadzaniu własności funkcji e^x. Za chwilę zobaczymy, że i (33) można zastąpić wygodniejszą definicją (por. (43)).

Powrócimy teraz do normalnego oznaczenia e^x zamiast £(x) i wysłowimy wykazane twierdzenia.

8.6. TWIERDZENIE. Niech funkcja e^x będzie określona dlaxeR^l przez równości (25) i (35). Wtedy