chądzyński8

110 6. FUNKCJE REGULARNE

Z (1), (2) i (3) dostajemy

110 6. FUNKCJE REGULARNE

+oo

k=l

1

k² ~ a?

ctg TT a

— 7T-

O

Stąd dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.

□

Zadanie 6. Pokazać, że dla a E C \ Z mamy

Y tżŁ i(i _i y

~[k²—a² 2a \a smiraJ

Rozwiązanie. Niech P(-?) = l,Q(z) = z²—a² i /(z) = l/(sin7rz)(z²~ a²). Wielomian Q ma dwa zera jednokrotne Ci — ^a i C2 — ~°-Na mocy zadania 1

(O

iiSL E

k——n    k—1

Obliczmy najpierw sumę po prawej strome (1). W myśl zadania 6.3.4 mamy

res^ / =    TTT' dla ^ — 1,2.

sinTrCi

Stąd

_reg 1 _    1    1 _j__1__1    __    1

^eS^ '    sin7ra2a    sin7r(—a) 2(—a) asin7ra

Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi

V (-1)*    :    V

k² — a^{2    J} (—k)² — a²

fc=o    fc=l ^v '

są bezwzględnie zbieżne, to

hm V ~-₂-2 = —2 ⁺ 2 ll T2-2 •

n—>+oo t—* k¹ — a¹ a^{2 z}—' k¹ — a*

k——n    k= 1

Z (1), (2) i (3) dostajemy

a sin na

7T

Stąd dostajemy (*).

□

To kończy rozwiązanie.

6.5. Całki niewłaściwe a twierdzenie o residuach

W podrozdziale tym przez P, Q oznaczać będziemy wielomiany postaci P(z) = Az^k~^l Ą- • * ■, Q(z) = Bz^k + • ■ ■, B 7^ 0, gdzie k = degQ > 1. Przez Cr oznaczać będziemy luk okręgu o opisie parametrycznym 7_R : {0,7t) B t Pexpż'f G C dla R > 0.

Wskazówka do rozwiązań poniższych zadań. W zadaniach 2-5 całkować odpowiednie funkcje postaci z t—>    exp i z wzdłuż krzywej zamkniętej

T/e := [— P, P] + Cr i przejść do granicy przy R—* + co. Analogicznie w zadaniach 6, 7 całkować funkcje z    (exp z2 — 1).

Zadanie 1. Pokazać, że

w

exp lazdz — 0 dla a > 0.

Rozwiązanie. Łatwo zauważyć, że funkcję wymierną P/Q można przedstawić w postaci

w

P(z) _ A_| Ą(z)

Q{z) Bz

gdzie deg P_Ł + 2 < deg Qi-

Pokażemy najpierw, że

dz — 0 i