chądzyński7

128 6. FUNKCJE REGULARNE

zadania 2. Połóżmy /(z) = z^aQ (z) dla z G C \ (R₊ U {«, —i}). Wjtedy z zadania 2 mamy

7re

/ (a) = - —-(res; / + res_i /).

Sm 07T

Funkcja / ma w punktach ?, —i bieguny dwukrotne. Stąd, kładąc L(z) — Log (—z) +7H, ze wzoru na residuum w biegunie dwukrotnym (zadanie 6.3.2) mamy

res_! / =

reSj /    =

f e^nL(z) V	.OLW I (^z + 't - 2 (* + i)
V(* + 0V«,	(*+e^4

e^aLW ,    e5^a7r< (a - 1) z

___(a__{1)l =} —j—

_e*L(z)

(z - i)'

_gaL(-t)

-—-— (--a + 1) i

cxL(z) z_

i (z~ if ~ 2 {z-i)

(z - i)⁴ eA^ani(a-l)i

co daje

res_?; / 4- res_i / =

(«-!)* (A

4

(a-l)

a 7ri „Zam

0

esin-— 2 2

W konsekwencji dla a^O, 1, 2 mamy

I(a) =    ₌ llłzJźŻ. ^:

sin air 2    2    4 cos ^

Łatwo obliczamy, stosując metody analizy rzeczywistej, że /(O) — 7(2) = tt/4 oraz 7(1) — 1/2.    ;

To kończy rozwiązanie.    ; O

Zadanie 4. Niech —1 < cv < 1 i — 7r < <£> < tt. Obliczyć całkę

(«,¥>)= f

J o

I

t^a

-f" 2£ cos ty? d^-1

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że a / 0. Wtedy całkę 7 (b, ty?) możemy policzyć, korzystając z zadania 2. Funkcja wymierna Q (z) — lf{z²+2z cos 99-F1) ma współczynniki rzeczywiste i bieguny w punktach 61 = — e^t¥\ &2 — — e~^t(p, 61, &2 ^ R+. Ponadto ord₀ Q = 0 i deg Q = -2, czyli spełnione są założenia (*) zadania 2. Połóżmy f(z) — zⁿQ (z) dla

zeC\(R+U{/ą_?M).-

Dla fi 7^ 0 mamy 61 ^ 60 i z zadania 2 mamy

sin onr

(res_6l / + resj,₂ /)

Funkcja Q ma w punktach 6_ł? 6₂ bieguny jednokrotne. Stąd, kładąc L(z) — Log(—z)T 7rź, mamy

resbl / =	goLffei)	ę,ia((p+n)
	2 (61 -+- cos fi)	2i sin fi
resf>2 / =	ęOtL(b2)	ęia(~V+ir)
	2 (p2 4- COS fi)	2ż sin 9?
res6l f + resj,2 / = -		--sin aę?

Zatem

i w konsekwencji

I {a, fi) = ~

7r sm 0:9?

sm arn ■ sin 9?

Dla 92 = 0, Q (z) = 1/ (2 + l)² i ze wzoru na I[a) z zadania 2

7(^0) = --'

res_i /.

sm ott

Funkcja Q ma teraz w punkcie -1 biegun dwukrotny i

]    res-i / =    =

a

z—— 1

(-1)

gOL(-l) _ __ae««_

Stąd

/ (a, 0) — —

Tra

sm «7r

Załóżmy teraz, że o = 0. Wtedy dla funkcji podcałkowej łatwo znajdujemy funkcję pierwotną. Dalej prostym rachunkiem dostajemy I (0, fi) = fi/ sin fi dla 9? ^ 0 i / (0,0) = 1.

To kończy rozwiązanie.    □