chądzyński0

114 6. FUNKCJE REGULARNE

Stąd

W

r    r+oo

lim / f(z)dz =

cost

(;t² + a²)(t² + b²)

df.

Ponadto, z zadania 1, mamy

(7)

lim

L

exp iz

-dz = 0.

fi—*+oo J_Cr (z² +• a²) (z² 4- 6²)

Przechodząc w (5) do granicy przy R —* +oo i korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy

⁺°°    COS tdt    7T /    1    1

□

(t² 4- a²)(t² 4- fr²) (6² — a²) \aexpa bexpb To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Obliczyć całkę

*+oo

cos tdt (t² + a²)² ’

gdzie a > 0.

Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem

(i)

/w-

exp iz

(z² + a²)²'

Jest to funkcja meromorficzna w C. Ma ona jedynie dwa biegimy dwukrotne w punktach z\ = ia, Zo = —ia. Obliczmy residuum funkcji / w punkcie Z\. Z zadania 6.3.2 mamy

(2)    res,_a / = lim^a [(z - ia)²f(z)]'

= lim,

exp iz

a 4~ 1

4ia³ exp a'

(3)

(z 4- ia)²

Niech dalej liczba R będzie większa od a. Wówczas mamy

. ,    ,    .    ,1 dla k = 1,

md _Tr (Zk)

0 dla k — 2.

Z (1), (2) i (3), na mocy twierdzenia o residuach, dla dowolnego R > a dostajemy

f _£t s j ₀ - ^a + 1 a (a 4- 1)

j_r    f(z)dz = 2 =

exp a    2a³exp a

Z drugiej strony, mamy

P)

[ f (z)dz = f f(z)dz + [ f(z)dz. dr*    JCn

Obliczmy granicę pierwszej całki po prawej stronie (5) przy R —► +oo. IMamy

(6)

I f(z)dz — f f(t)dt — [ J[~R,R]    J-R    J-

exp it r {t² + a²)'

:dt

f^R cost    . f

~ J-R (<³+«²)²    /

sin t

-« T+a²)²

lim /    [

⁴⁰⁰ cost

Ponadto z zadania 1 mamy

exp * z

«-+“/c_J1(^ + a²)²

dz — 0.

I Przechodząc w (5) do granicy przy R —> +oo i korzystając z (4), (6) i (7), dostajemy

i

cos i _ 7r(o 4-1)

/

OC

(t²-j-a²)² 2a³expa

| To kończy rozwiązanie. Zadanie 4. Obliczyć całkę

gdzie a,b > 0.

□

/+oc

oo

cos atdt t² 4- b²

Rozwiązanie. Rozważmy w C funkcję / określoną wzorem

exp iaz

(1) /(*) =