chądzyński2

100 6. FUNKCJE REGULARNE

Z drugiej strony, jeśli |F₂j oznacza podkład krzywej r₂, to punkt a leży w składowej nieograniczonej zbioru C \ |r₂|. Zatem, na'mocy własności 1.35.1,

(2)    indr₂(«) = 0.    i

Ponadto punkty a i 0 leżą w tej samej składowej zbioru C !\ \C\. Zatem, również na mocy własności 1.35.1,

(3)    indc(a) = indc(0).

Z (1), (2) i (3) mamy indrj(a) = indę-(O). Stąd, na mocy żądania 3.2.8, dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 4. Niech 0 < r < R. Określmy krzywą zamkniętą rV,.R = [—i?, —r] + (—C_T) 4- [r, i?] + C_R. gdzie C_p jest krzywą o opisie paranie-trycznym (0, ir) 3 t i—» pe^lt. Pokazać, ze

(*)    indr_{r J?}(a-) = 1 dla a G G,

gdzie G := {z G C : r < \z\ < R i Tm z > 0}.

Rozwiązanie. Niech a G G. Określmy krzywe zamknięte — [—fi, p]+ C_p, p G {r, R] i połóżmy f_a{z) = l/(^ — a). Wówczas z własności 1.19.3 (c) i (d) dostajemy    ■

i

Stąd i z określenia indeksu punktu w^rzględem krzywej dostajemy:

(1)    ind_rrjR(o) -f indr_r(a) = ind_rR(a).

Z drugiej strony, punkt a leży w składowej nieograniczonej zbioru c\|r_r|. Zatem, na mocy własności 1.35.1,    i

(2)    indr_r(«) — 0.    ,

Ponadto, z zadania 3,    !

(3)    indr_H(tt) = 1.

Z (1), (2) i (3) dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

□

Zadanie 5. Niech 0 < e < n i C'_p będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym (e_: 2r — s) 9 t i—> pe^lt G €. Określmy dla 0 < r < R krzywą zamkniętą T — C'_R 4- [/2e~*^e, re~^l£] + (—C') 4- [re^ie, Re¹"]. Pokazać, ze

indr(a) = 1 dla a G G,

gdzie G := {z G C : r < \z\ < R i J Arg^| > e}.

Rozwiązanie. Niech a G G i niech C_R będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym (—e, e) 3 t. i—* Re^rf G C. Określmy krzywą zamkniętą F* = C_RR[Re^l£,re^l£] + C'_r-\r{re~^te,Re~'^iS] i połóżmy /_a(z) = 1 /(z —a). Wówczas z własności 1.19.3 (c) i (d) dostajemy

gdzie Cfi jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu równym R. Stąd i z określenia indeksu punktu względem krzywej dostajemy

(i)

indr(a) 4- ind_r*(a) — indor (a).

Z drugiej strony, punkt, a leży w składowej nieograniczonej zbioru C \ |r*|. Zatem, na mocy własności 1.35.1,

(2)

indp. (a) = 0.

Ponadto, na mocy własności 1.35.1

(3)

indc(a) = indc(0).

Z (1), (2) i (3) mamy ind_r(a) = indę-(O). Stąd, na mocy zadania 3.2.8, dostajemy (*).