chądzyński4

122 6. FUNKCJE REGULARNE

Rozwiązanie. Niech G — C \ {z £ C : Re z — O, Im z < 0} i niech L będzie gałęzią logarytmu funkcji tożsamościowej w G taką, że L(z) = Log (z) dla z 6 R+. Z zadania 2.5.2 wynika, że funkcja L istnieje i jest postaci

(1)    L (z) — Log(—iz) — (3/2)7ń dla z E G.

Z twierdzenia 1.13.3 wynika, że L jest funkcją, holomorficzną. Rozważmy w zbiorze G funkcję /* określoną wzorem

(L(z)f

(2)

h (*) =

1 + Z⁴

Jest to funkcja meromorficzna w G. Ma ona jedynie cztery bieguny

1    3    3    *    1    ■

jednokrotne w punktach z_x — Z2 = e*¹™, z3 = e~'*^7r\ z₄ = er*™. Obliczmy residua funkcji f_k w punktach z₄ i z₂

1 L^k(zi) ZiL^k (z{)

res_2i f_k = [L (zj)] ' res*, j

+ z^L~

4 zf

l = 1,2.

Stąd, w myśl (1), mamy

(3)    r es „A + res ,J_k = -1 f^Tri) (eH + et"3^l) .

Załóżmy dalej, żeO<r<l<Ri weźmy krzywą zamkniętą

r_r,i? — [-R, — r] + (—Cr) + [r, R] + Cft,

gdzie Cp jest krzywą o opisie parametrycznym (0, ff) 9 i h pe^lt. Krzywa r_r>/? przebiega w G. Z zadania 6.2.4 i z własności 1.35.1 mamy odpowiednio

(4)    ind_rrR (zj) - ind_{rr K} (z₂) = 1,

(5)    ind_rr. _fi (z₃) = h\d_{rr R} (z₄) = 0.

Z (3), (4) i (5), stosując twierdzenie o residuach, dostajemy

(6)    fk (z)dz - -\/2    ((1 - 3*) + i (l -+-3*)) .

Rozważmy teraz całkę po lewej stronie (6). Z własności 1.19.3 dostajemy

Zauważmy najpierw, że z definicji całki krzywoliniowej, uwzględniając '(1) i (2), mamy

i    ( [    + I \fk(z)dz= f [fk(-t) + f_k(t)]dt

U[-R,-r] J[r,R\J    Jr

i + t^A

— [^R gż + A"*)* + (L°gt)* J*

J r

Stąd, wprowadzając oznaczenie

_r,« _ r (l

+ t⁴

^k Jr 1

j wykorzystując wzór dwumianowy Newtona, mamy

I

k

K8)

| /    +/’}/* w & = it* +    o («)*■'

■ Pokażemy teraz, że

0 oraz /    //t (2) dz

Jc_R

0.

U)    f    fk(z)dz    . . ,

7c_r    -/r?-

Istotnie, dla z leżącego na krzywej C_T mamy

\fk(z)\ < (|Log?j + 7r)^fc /(I — r⁴),

'zatem

/ A W

Jc_r

dz

< TC r

(|Logr| + 7r) ^

1 — r⁴    r—>0+

co daje pierwszą część (9). Analogicznie

(Log /? +

0,

f fk {z)

d Cr

dz

< tcR-

Rd — 1 R—t+oo

0.

Z (6), (7), (8) i (9) dostajemy

1

   f fk(z)dz = | /    - [ + f + f } fk (z) dz.

J r_r,«    ./C7_r    ./CrJ