chądzyński0

78 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

Rozwiązanie. Wiadomo z analizy rzeczywistej, że jeśli b_n > 0 i lim^oo&n = ,9 G K₊ U {+oo}, to lim^^    • &_n_₃ - p. Stąd,

kładąc b_Tl = |a_n+1|/|a_n|, dostajemy lim*-** \/W = P- Wystarczy teraz zastosować twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda 1.27.2.

To kończy rozwiązanie.    □

Dla a € C określmy szereg dwumianowy Newtona

n G N \ {0}.

gdzie symbole Newtona

(") dane są wzorami a(a — 1) • * • (a — n + 1)

Zadanie 4. Pokazać, ze:

(a.) dla każdego a € N szereg dwumianowy Newtona jest wielomianem,

(b)    dla każdego a € C \ N szereg dwumianowy Newtona jest zbieżny w K = {z € C : \z\ < 1), przy czym K jest jego kołem zbieżności,

(c)    suma szeregu dwumianowego Newtona, oznaczmy ją f_a, jest funkcją holomorficzną i dla każdego z E K

(*)    (1 + z)f_a-_X(z) = f_a(z),

(**)    f_a(z) = a/«_i(ż).

Rozwiązanie, (a). Wynika z określenia symboli Newtona.

(b) . Niech a € Z \ N. Połóżmy a_n := ^a(a-^'_n^--ⁿ⁺¹⁾-. Wtedy a_n+i/a_n = (a — n)/(n Tl) iw konsekwencji lim_n_,oo |a_n+1|/|a_n| = 1. Zatem, na mocy zadania 3, K jest kołem zbieżności szeregu dwumianowego Newtona.

(c) . Z twierdzeń 1.26.1 i 1.27.1 wynika, że szereg dwumianowy Newtona jest niemal jednostajnie zbieżny w K i jego suma f_a jest funkcją holomorficzną. Dla n > 1 mamy

Stąd dla każdego z E K dostajemy

a+*)/_!(*) = u+*)£;(“ T

n-0 V ⁷¹    /

ec;¹-

a — 1

n=0

co

ⁿ⁺E( „

O' — 1

n—0

_vn+1

n=l

n=0

= >E:V" = m

n= 1

co daje (*).

Z twierdzenia Weierstrassa 1.26.1 (b) dla każdego zeK dostajemy

ci/_1 _    - 1) •••(«- 71 + 1)

¹    ~^ (n — 1)!

n=l    ^K    y

oo

= «E

n=l

oo

=«E

(a - 1) ■ • • (« - n+ 1) (n-1)!

(o■ — 1) • • • ((a — 1) — n + 1)

n=0

n\

Zⁿ = a/a-l(4

co daje (**).

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 5. Niech K = {z E C    Pokazać, ze

(*)    exp[<aLog(l + z)} =    dla z E K,

n=o \ⁿ'

■przy czym K jest kołem zbieżności szeregu (*) dla a € C \ N.

Rozwiązanie. Funkcja L : K 3 z i—► Log(l + z) jest gałęzią logarytmu funkcji K 32^l + 2€€ \ R_. Z zadania 4.1.5 wynika, że funkcja L jest holomorficzna i

1

   L'(z)= 1/(1+ 2) dla zeK.