chądzyński8

74 4. FUNKCJE HOLOMORFICZNE

4.4. Twierdzenie Weierstrassa

o ciągach funkcji holomorficznych

Zadanie 1. Niech będzie dany ciąg {/_n} funkcji holomorficznych w obszarze GcC. Pokazać, ze jeśli ciąg {fj] jest niemal jednostajnie zbieżny w G i ciąg {/„} jest zbieżny w pewnym punkcie zbioru G, to ciąg {f_n} jest niemal jednostajnie zbieżny w G.

Rozwiązanie. Niech K będzie takim kołem, że ciąg {//} jest jednostajnie zbieżny w K i ciąg {/„ (a)} jest zbieżny dla pewnego a £ K. Pokażemy, że ciąg {/_n} jest jednostajnie zbieżny w K. Weźmy dowolną liczbę e > 0. Z warunków Cauchy^ego jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego i zbieżności ciągu liczbowego dostajemy, że istnieje taka liczba N > 0, że dla dowolnych k,l > N i dowolnego z £ K

gdzie d jest średnicą kola K. Wówczas dla dowolnych k,l > N i z £ K, na mocy (1) i własności 1.19.4, mamy

f (fk (C)

J[a,z\

fl(0)dC

< (e/2d) ■ d = e/2.

Stąd, w myśl twierdzenia 1.20.2, dostajemy

(3)    |(/fc (z) ~ fi (z)) - (f_k (a) - fi (a))| < e/2.

Z (3) i (2) dla k,l > N i z £ K mamy

I fk (z) - fi (z)| < e,

co daje jednostajną zbieżność ciągu {/_n} w K.

Pokażemy teraz, że dla każdego punktu obszaru G istnieje otoczenie tego purddn, w którym ciąg {/_n} jest zbieżny jednostajnie. Istotnie, oznaczmy przez D zbiór wszystkich punktów należących do G, w który cli otoczeniu ciąg {/_n} jest. jednostajnie zbieżny.

Pokażemy najpierw, że zbiór D jest niepusty. Istotnie, w myśl założenia istnieje punkt a £ G, że ciąg {/_n (a)} jest zbieżny. Ponieważ ciąg {//} jest niemal jednostajnie zbieżny w G, istnieje takie kolo K_a o środku w punkcie a, w którym ciąg { ///} jest jednostajnie zbieżny. Zatem z pierwszej części rozwiązania ciąg {f_n} jest jednostajnie zbieżny w K_a.

Zbiór D jest oczywiście otwarty.

Pokażemy, że D jest również zbiorem domkniętym w G. Niech a € G będzie punktem skupienia zbioru D. Wówczas istnieje takie koło K_a o środku w punkcie a, w którym ciąg {f'_n} jest jednostajnie zbieżny. W kole tym istnieją punkty zbioru D, w których ciąg {/_n} jest zbieżny. Stąd, na mocy pierwszej części rozwiązania, ciąg {/_n} jest jednostajnie zbieżny w K_a. Zatem a £ D. Reasumując, G = D.

Pokazaliśmy, że ciąg {f_n} jest lokalnie jednostajnie zbieżny w G. Stąd dostajemy łatwo niemal jednostajną zbieżność ciągu {f_n} w G. To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, ze dla \z\ < 1 zachodzą następujące wzory:

(a) 1 + z + z²H----+    + ‘ ■ ■ = jzj

Rozwiązanie. Niech K_r — {z € € : \z\ < r}, 0 < r < 1.

Ze znanego wzoru 1 + z z² + * “ P zⁿ —

Ze znanego wzoru l P z + z² + * - > P z'

,2 ^ 1 wynika

(a), przy czym szereg w (a) jest zbieżny niemal jednostajnie. Istotnie, na mocy kryterium Weierstrassa jednostajnej zbieżności (patrz zadanie 2.7.2), w każdym kole K_ri r € (0,1) szereg w (a) jest zbieżny jednostajnie, czyli niemal jednostajnie w K\.

Z twierdzenia Weierstrassa 1.26.1 zastosowanego do sum częściowych szeregu (a) dostajemy

(1)

przy czym szereg w (1) jest zbieżny niemal jednostajnie w K₁. Stąd dostajemy, że szereg w (b) jest niemal jednostajnie zbieżny w K\ i że zachodzi wzór (b).

Z twierdzenia Weierstrassa 1.26.1 zastosowanego do sum częściowych szeregu (b) dostajemy

oo

dla z G Aj.

Stąd dostajemy (c).