chądzyński9

chądzyński9



152 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI

Zadanie 1. Pokazać, że funkcja, holomorficzna f : C\{a} —► C jest częścią główną szeregu Laurcnta w punkcie a dokładnie wtedy, gdy lim^oo/ (z) = 0.    ;

Rozwiązanie. Każda funkcja holomorficzna / : C \ {a} —► C na mocy twierdzenia 1.38.1 rozwija się w szereg Laurenta o środku w punkdie zbieżnym w C \ {a}. Niech / = g -f h, gdzie g jest częścią główną,' a - częścią regularną tego rozwinięcia. Funkcje g, h są holomorficzne w C \ {g}. Funkcja h rozszerza się holomorficznie na punkt a, czyli,jest funkcją całkowitą, a funkcja g jest częścią główną szeregu Laurenta w punkcie a. Oczywiście

(1)    hm g {z) = 0.

Z—MDO

Załóżmy teraz, że łimz_^00 / (2) = 0. Wówczas z (1) limz_00 h (z) ~ 0. Zatem z twierdzenia 1.30.2 (Liouville’a) h — 0, czyli / = g. Odwrotnie, jeśli / — g, to z (1) lirn2;_+00 / (z) = 0.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech A będzie zbiorem izolowanym i domkniętym w G. Każdemu punktowi a £ A przyporządkowujemy część główną szeregu Laurenta w punkcie a, równą ga. Pokazać, że istnieje funkcja f regularna w zbiorze G mająca punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A taka, że dla każdego aei jej część główna rozwinięcia w szereg Laurenta w punkcie a, jest równia g(uogólnione twierdzenie Mittag-Leffiera).

Rozwiązanie. Weźmy ciąg { Kn } zwartych podzbiorów zbioru G określonych w lemacie 1.46.1 (o wyczerpywaniu zbiorów otwartych zbiorami zwartymi). Połóżmy A1 — A n K\ i An = AD (Kn \ A'n_1) I dla n = 2,3.... Ponieważ zbiór A nie ma punktów skupienia w G, więc wszystkie zbiory An są skończone. Połóżmy dalej dla dowolnej liczby naturalnej n

(1)    Qn = Yi 3.-

Ct£.Art

Funkcja Qn (n > 2) jest regularna w C i ma punkty osobliwe odosobnione Mył acz nie w zbiorze Kn \ A"T1_i. Zatem funkcja Qn (n > 2) j jest holomorficzna w zbiorze Kn~i- Z lematów 1.46.1 i 1.52.1 wynika., że zbiór G \ Kn-i(n > 2) nie ma składowych względnie zwartych \y G.

Zatem na mocy twierdzenia Rungego 1.52.1 (b)=>(a) istnieje funkcja Rn holomorficzna w G taka., że

(2)    |Qn (z) ~ Rn Wl < 3/2n dla z £ Kn_l.

Pokażemy, że funkcja

OO

(3)    / = Ol + Y.Wn -

n=2

jest regularna w G, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A i w każdym punkcie a £ A ma zadaną część główną rozwinięcia w szereg Laurenta. Ponieważ, w myśl lematu 1.46.1, G — (Jn>2IntA'n, więc wystarczy pokazać, że dla dowolnego N > 2 funkcja / czyni zadość tym warunkom w Int Km-

Zauważmy najpierw', że suma. szeregu

OO

(4)    (Qn - Rn)

7x—IV *4' 1

jest funkcją holomorficzną, w Int Km- Istotnie, dla dowolnego n > N, Int Km C Kn-1, zatem różnice Qn — R^ są holomorficzne w Int KNPonadto, na mocy (2), \Qn (z) — FG (z)\ < l/2n dla z £ Km i w konsekwencji na mocy kryterium Weierstrassa (zadanie 2.7.2) szereg w (4) jest jednostajnie zbieżny w Km- Reasumując, w myśl twierdzenia 1.26.1 (Weierstrassa), suma szeregu (4) jest funkcją holomorficzną w Int K m -

Ponieważ R? H-----1- Rm jest funkcją holomorficzną w Int Km-, więc

na mocy powyższego funkcję f — (Qi + • - ■ 4- Qn) można rozszerzyć do funkcji holomorficznej w Int KN- Zatem funkcja / jest regularna w Int KN, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A fi Int Km i w' każdym punkcie a £ A fi Int KN ma z góry zadaną część główną szeregu Laurenta.

To kończy rozwiązanie.    □

9.3. Iloczyny liczbowe nieskończone

Zadanie 1. Niech an > 0, n £ Nq. Pokazo,ć, ze iloczyn n^Li (3- an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg    an-

Rozwiązanie. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności iloczynu nieskończonego albo z warunku koniecznego zbieżności szeregu można


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
chądzyński5 ROZDZIAŁ 1Wstęp 1.1. Liczby zespolone Zadanie 1. Pokazać, że jeśli zi, z2 € C7
chądzyński 5 164 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że iloczyn n^
chądzyński1 98 6. FUNKCJE REGULARNE 98 6. FUNKCJE REGULARNE □ To kończy rozwiązanie. Zadanie 3. Pok
chądzyński7 148 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Pn taki, że(1)
chądzyński 0 154 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI bez straty ogólności założyć, że (1)  &nb
chądzyński 1 156 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Rozwiązanie. Z twierdzenia 1.13.3 wynika, że f
chądzyński 2 158    9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Zadanie 6. Niech {aw} będzie
chądzyński 4 162 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Na koniec pokażemy, że zachodzi (**). Ze zbież
chądzyński6 2 i. WSTĘP Zadanie 2 Pokazać, że jeśli zy, z2 € C, to Rozwiązanie. Wystarczy skorzystać
chądzyński8 150 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Na mocy małego twierdzenia Rungego (wniosek 1.
chądzyński 3 160 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI7, oo(i)    (i - KI) < °°- n=
Zadania Zadanie 2.1. Pokazać, że każdy niedeterministyczny automat z warunkiem Mullera jest równoważ
Zadanie 6 Pokazać, że pole jednorodne, czyli pole stałej sity, jest potencjalne. Pole jednorodne, tz
Liczby pierwsze, liczby wymierne i niewymierne 13 Zadanie 9. Dowieść, że liczba log4050 jest
15 Przestrzenie ilorazowe 1.25. Zadanie. Pokazać, że układ Schaudera nie tworzy bazy topologicznej
W2 b Page(1) Równania równowagi czworościanu w notacji klasycznej mechaniki Cel: Pokazanie że macie
P2110769 4.75. Wskazówka Wykaz, źe AAED * ABFE • ACDF Dla dowodu drugiej części wystarczy pokazać, ź

więcej podobnych podstron