152 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI
Zadanie 1. Pokazać, że funkcja, holomorficzna f : C\{a} —► C jest częścią główną szeregu Laurcnta w punkcie a dokładnie wtedy, gdy lim^oo/ (z) = 0. ;
Rozwiązanie. Każda funkcja holomorficzna / : C \ {a} —► C na mocy twierdzenia 1.38.1 rozwija się w szereg Laurenta o środku w punkdie a zbieżnym w C \ {a}. Niech / = g -f h, gdzie g jest częścią główną,' a h - częścią regularną tego rozwinięcia. Funkcje g, h są holomorficzne w C \ {g}. Funkcja h rozszerza się holomorficznie na punkt a, czyli,jest funkcją całkowitą, a funkcja g jest częścią główną szeregu Laurenta w punkcie a. Oczywiście
(1) hm g {z) = 0.
Z—MDO
Załóżmy teraz, że łimz_^00 / (2) = 0. Wówczas z (1) limz_00 h (z) ~ 0. Zatem z twierdzenia 1.30.2 (Liouville’a) h — 0, czyli / = g. Odwrotnie, jeśli / — g, to z (1) lirn2;_+00 / (z) = 0.
To kończy rozwiązanie. □
Zadanie 2. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech A będzie zbiorem izolowanym i domkniętym w G. Każdemu punktowi a £ A przyporządkowujemy część główną szeregu Laurenta w punkcie a, równą ga. Pokazać, że istnieje funkcja f regularna w zbiorze G mająca punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A taka, że dla każdego aei jej część główna rozwinięcia w szereg Laurenta w punkcie a, jest równia ga (uogólnione twierdzenie Mittag-Leffiera).
Rozwiązanie. Weźmy ciąg { Kn } zwartych podzbiorów zbioru G określonych w lemacie 1.46.1 (o wyczerpywaniu zbiorów otwartych zbiorami zwartymi). Połóżmy A1 — A n K\ i An = AD (Kn \ A'n_1) I dla n = 2,3.... Ponieważ zbiór A nie ma punktów skupienia w G, więc wszystkie zbiory An są skończone. Połóżmy dalej dla dowolnej liczby naturalnej n
Ct£.Art
Funkcja Qn (n > 2) jest regularna w C i ma punkty osobliwe odosobnione Mył acz nie w zbiorze Kn \ A"T1_i. Zatem funkcja Qn (n > 2) j jest holomorficzna w zbiorze Kn~i- Z lematów 1.46.1 i 1.52.1 wynika., że zbiór G \ Kn-i(n > 2) nie ma składowych względnie zwartych \y G.
Zatem na mocy twierdzenia Rungego 1.52.1 (b)=>(a) istnieje funkcja Rn holomorficzna w G taka., że
(2) |Qn (z) ~ Rn Wl < 3/2n dla z £ Kn_l.
Pokażemy, że funkcja
OO
n=2
jest regularna w G, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A i w każdym punkcie a £ A ma zadaną część główną rozwinięcia w szereg Laurenta. Ponieważ, w myśl lematu 1.46.1, G — (Jn>2IntA'n, więc wystarczy pokazać, że dla dowolnego N > 2 funkcja / czyni zadość tym warunkom w Int Km-
Zauważmy najpierw', że suma. szeregu
OO
7x—IV *4' 1
jest funkcją holomorficzną, w Int Km- Istotnie, dla dowolnego n > N, Int Km C Kn-1, zatem różnice Qn — R^ są holomorficzne w Int KN. Ponadto, na mocy (2), \Qn (z) — FG (z)\ < l/2n dla z £ Km i w konsekwencji na mocy kryterium Weierstrassa (zadanie 2.7.2) szereg w (4) jest jednostajnie zbieżny w Km- Reasumując, w myśl twierdzenia 1.26.1 (Weierstrassa), suma szeregu (4) jest funkcją holomorficzną w Int K m -
Ponieważ R? H-----1- Rm jest funkcją holomorficzną w Int Km-, więc
na mocy powyższego funkcję f — (Qi + • - ■ 4- Qn) można rozszerzyć do funkcji holomorficznej w Int KN- Zatem funkcja / jest regularna w Int KN, ma punkty osobliwe odosobnione tylko w zbiorze A fi Int Km i w' każdym punkcie a £ A fi Int KN ma z góry zadaną część główną szeregu Laurenta.
To kończy rozwiązanie. □
9.3. Iloczyny liczbowe nieskończone
Zadanie 1. Niech an > 0, n £ Nq. Pokazo,ć, ze iloczyn n^Li (3- — an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg an-
Rozwiązanie. Korzystając z warunku koniecznego zbieżności iloczynu nieskończonego albo z warunku koniecznego zbieżności szeregu można