chądzyński5

ROZDZIAŁ 1

Wstęp

1.1. Liczby zespolone Zadanie 1. Pokazać, że jeśli zi, z₂ € C₇ to (*)    \zi + z₂\ < l^il + l^l,

przy czym równość w (*) zachodzi dokładnie wtedy, gdy jedno, z liczb jest proporcjonalna do drugiej z nieujemnym współczynnikiem proporcjonalności

Rozwiązanie. Gdy z\ 4- z₂ — 0, nierówność (*) jest prawdziwa i oczywiście równość w (*) zachodzi dokładnie wtedy, gdy Z\ — z₂ = 0.

Rozważmy przypadek Z\ 4- z₂ ^ 0. Możemy dalej założyć na przykład, że z₂ 7^ 0.

Korzystając z oczywistej nierówności Re2 < \z\, dostajemy

(i)

1 = Re 1 = Re

Zl

+

Z 2

Z\ + Z₂ Z\ + Z₂

Re

^zi

^Z1 + ^2

+ Re

Zi + 2₂

<

Zl + 2₂

+

22

Z\ -f- 2₂

Mnożąc (1) stronami przez \zi -f z₂|, dostajemy (*).

Pokażemy teraz, że równość w (*) zachodzi dokładnie wtedy, gdy 21/22 G M+.

Gdy zachodzi równość w (*), to z (1) mamy

Zl	2l	5 22	22
Zl + 22	2l + 22	2i + 22	2l + 22

Stąd 21/22 = \zifz₂\ G M+.

Gdy 21/22 G R_+; to łatwym rachunkiem sprawdzamy, że zachodzi równość w (*).

To kończy rozwiązanie.    □

l