Obraz8 (51)

Zadania otwarto Zestaw

Zestaw I

(Liczby rzeczywiste)

Zadanie 1. Wiedząc, że \x — 1| <3 oraz \y + 3| < 5, wyznacz największą i nnj mniejszą wartość iloczynu xy.

Zadanie 2. Oblicz |\/l3 — 81^log9 ^ j, jeśli 2x = log_s625.

Zadanie 3. Oblicz ile razy najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 308 i 2(i jest większa od największego wspólnego dzielnika liczb 144, 252, 420?

Zadanie 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby | ma postać 0, 010,203____ Oblicz subm

<3-1 + 0,2 + O3 + • • • + 02011*

Zadanie 5. Nie korzystając z kalkulatora uzasadnij, że:

VU + Vl5 - VlŚ > 4.

Zadanie 6. Liczbę pierwszą 2011 zapisano w postaci a² — 6², gdzie a i b są li< bami naturalnymi. Oblicz a² + b².

Zadanie 7. Liczbę

2 2 1 9! ⁺ 7! • 3! ⁺ 5! • 5!

2°

przedstaw w postaci —, gdzie o, b € N. o!

Zadanie 8. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n³ -f 5n jrni podzielna przez 6.

Zadanie 9. Niech log5 = a oraz log3 = b. Liczbę log₂7 45 wyraź w zależni' ści od a i 6.

Zadanie 10. Uzasadnij, że liczba

m = yj3 *4” 2\/2 + \/6 — 4y/2

jcsi. całkowita.

Zadanie 11. Uzasadnij, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność

a² + b² + 4 > 2(a 4 l> ab).

Zestaw II

(Liczby rzeczywiste)

Zadanie 1. Który ze zbiorów A = (1,2²⁰⁰⁹) czy B = (2²⁰⁰⁹,2²⁰¹⁰), zawiera więcej liczb całkowitych? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2o Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 7ⁿ ■ 2³ⁿ — 3²ⁿ |cst podzielna przez 47.

Zadanie 3. Niech m = 0,3(6) i n = 0, (36).

a)    Liczbę m + n zapisz w postaci ułamka zwykłego.

b)    Liczbę m — n zapisz w postaci ułamka dziesiętnego okresowego.

o±l

Zadanie 4. Niech log 2 = a oraz log 3 = 6. Oblicz 9 2b

Zadanie 5. Uzasadnij, że liczba: M = i'"it liczbą całkowitą.

1

\/l + a/4

1

\/97 + \/l00

Zadanie 6. Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których iloczyn jest równy 744, a ich największy wspólny dzielnik jest liczbą pierwszą.

Zadanie 7» W pewnej szkole 60% uczniów umie grać w szachy. Wśród uczniów umiejących grać w szachy 30% umie grać w brydża, a wśród uczniów nieumiejących •.nić w szachy tylko 10% umie grać w brydża. Jaka część uczniów potrafiących ri ać w brydża umie grać w szachy?

Zadanie 8. Wyznacz liczby A i B spełniające warunek:

' ⁿV    (6⁴⁰ + 6^-40) (6²⁰ - 6~²⁰) = 9^a8^b - 9"^a8^_jB.

Zadanie 9. Uporządkuj rosnąco liczby: log₂ 5, log₃ 16, log₄ 32. Odpowiedź uza-

mu lnij.

Zadanie 10. Niech A = (2,7) oraz niech B oznacza zbiór liczb całkowitych 1 spełniających nierówność \x — m\ < 2. Zbadaj liczbę elementów zbioru A H B w zależności od parametru m.

Zadanie 11. Wyznacz liczby całkowite a, b i c tak, aby była prawdziwa rów-

iiość:

(^4 + v^2 - 2J (a,<y4 A by/2 + Cj - 10.