chądzyński2

I

ROZDZIAŁ 8

Odwzorowania konforemne

8.1. Rodziny normalne

Zadanie 1 (Arzela-Ascoli). Pokazać, że jeśli 3? jest rodziną funkcji 'zespolonych określonych na zbiorze otwartym, G C C, spełniającą warunki:

(a)    dla każdego z £ G zbiór {/ (z) : f £ 3?} jest ograniczony,

(b)    dla każdego zbioru zwartego K c G rodzina 3? jest jednakowo ciągła na K,

to jest rodziną normalną.

Rozwiązanie. Niech {K_n} będzie ciągiem zbiorów zwartych określonych w lemacie 1.46.1 wyczerpujących zbiór G i niech E C G będzie zbiorem przeliczalnym takim, że dla każdego n zbiór EDK_n jest gęsty w zbiorze K_n.

Niech {/_m} będzie dowolnym ciągiem rodziny 9ft. Korzystając z (a), metodą przekątniową wybieramy z tego ciągu podciąg {f_mk} zbieżny we wszystkich punktach zbioru E.

Pokażemy teraz, że na dowolnym zbiorze K_n ciąg {fm_k} jest jednostajnie zbieżny, czyli jest niemal jednostajnie zbieżny w G. Ustalmy K_n. W myśl (b), dla dowolnej liczby s > 0 istnieje liczba 5 > 0 taka, jże dla dowolnych z', z" £ K_n i dowolnej funkcji / £ 3i nierówność | z' — z"\ < 6 pociąga za sobą nierówność

;W    \f (z') - f (z")\ < e/3.

Pokryjemy zbiór K_n rodziną kol o promieniach 5/2. W myśl zwartości iK_n istnieje skończona ilość takich kół D\,... ,D_S pokrywających K_n. Ponieważ zbiór E n K_n jest gęsty w zbiorze K_n, więc w każdym kole D_p istnieje pmikt z_p 6 E Ci K_n. Z poprzedniego ciąg {/_mjc} jest zbieżny |w zbiorze E, więc istnieje taka liczba N, że dla dowolnych k,l > N i £p, p = 1,... ,5 mamy

(2)    i frn_k {z_p) - fm_t (z_p) \ < ej3.

139