chądzyński2

ROZDZIAŁ 5

Punkty osobliwe odosobnione

5.1. Rozwinięcie w szereg potęgowy w otoczeniu punktu Zadanie 1. Pokazać, ze dla z G C mamy

oo    oo

exp z = z^k/kl, sin z =    l)^kz^2k+1/(2k + 1)!,

fc=0    k=0

OO

cos 2    l)^fc^^2fc/(2A’)!.

fc=0

Rozwiązanie. W myśl wniosku 1.30.1 każda funkcja całkowita / rozwija się w szereg potęgowy

f(z) = akZ^k dla z G C, A:—0

przy czym ze wzorów (1.27.3) dostajemy

(1)    a_k = /^(0)/fc! dla każdego k G N.

Z własności 1.11.2 dla funkcji exp mamy (exp)^ = exp. Zatem (exp)⁽ⁿ⁾(0) = exp 0 = 1. Stąd i z (1) dla funkcji exp mamy a_k = 1/Ar! dla każdego k G N.

Z własności 1.11.4 dla dostajemy

sm⁽ⁿ⁾(0) =

sin(0) -	= 0	dla	n	= 41,
cos(O) =	= 1	dla	n —	4/ + 1,
- sin(0)	= 0	dla	n —	4:1 + 2,
— cos(0) =	= -1	dla	n —	4Z + 3.
sin mamy	&2k ~	= 0 i	&2k+l — ( —1)

dla każdego k G N.

83