chądzyński3

84 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

Również z własności 1.11.4 dla dostajemy

cos(O) = 1 dla n — 4 Z,

COS

⁽ⁿ⁾(0) =

— sin(0) = 0 dla n = Al + 1,

— cos(O) = — 1 dla n — Al + 2, sin(O) = 0 dla n = 41 + 3.

Stąd i z (1) dla funkcji cos mamy a%_k = (—\)^k/(2k)\ ,a<2_k+\ = 0 dla każdego k € N.

To kończy rozwiązanie. □

Zadanie 2. Wyznaczyć wartości parametru a, dla których całka funkcji f_a : C^x —+ C określonej wzorem f_a(z) — (f + j?) ^exP²znika wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej przebiegającej w

C*.

Rozwiązanie. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu r > 0. Przypuśćmy, że

(1)

/ fa(z)dz = 0.

Łatwo sprawdzić, korzystając z zadania 4.5.3, że szeregi Laureata

- _zn-l

°° ^n-2

^—'(n + 1)! ‘ ^ n! ~ — (n -f 2)!

n=0 n=0 ^ ' n—0 n—0 ^v1

są niemal jednostajnie zbieżne w C^x. Stąd, na mocy zadania 1 i własności 1.19.5, dostajemy

L^Uz)dz=L{z

- + exp zdz = J

expz

dz +

^a I

exp z

'c \

°° r _yn—2

f ——-~~dz

±fJc n\

⁰⁰ r ^n-l ⁰⁰

Zif Jc ⁿ- —JC

n=0 ^1/0 n—0

Stąd i z zadania 3.2.8 dostajemy

(2)

jf_a(z)dz

2iri -f a2iri

Z (1) i (2) dostajemy a = —1.

Łatwo sprawdzamy, że [(1/z) exp z]' — /_ 1. Zatem funkcja /_ 1 ma w C^x funkcję pierwotną.. Stąd, na mocy twierdzenia 1.20.3, całka funkcji /_ 1 znika wzdłuż dowolnej krzywej regularnej zamkniętej przebiegającej w C^x.

Odpowiedź: a = — 1.

To kończy rozwiązanie. □

Zadanie 3. Niech f będzie dowolną funkcją całkowitą i niech T będzie krzywą regularną zamkniętą przebiegającą w C. Pokazać, ze

(*)

Rozwiązanie. Z wniosku 1.30.1 dla 2 ę C

(1) /(2) = ^a_fcz^fc,

k—0

przy czym, w myśl twierdzenia 1.27.1, szereg w (1) jest niemal jednostajnie zbieżny w C. Połóżmy P_n(^z) — Y^k=o^ak^zk- Zatem ciąg {.P_n} jest również niemal jednostajnie zbieżny w C do funkcji / i z własności 1.19.5 dostajemy

Z drugiej strony, każdy wielomian ma funkcję pierwotną. Zatem, w myśl twierdzenia 1.20.3, dla każdego n mamy f_r P_n(z)dz ~ 0. Stąd i z (2) dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie. □

Zadanie 4. Pokazać, ze.