chądzyński5

88 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

Z założenia a > 0, dla 2 G \C_R\ mamy | expiaz| = exp(— Imaz) < 1. Stąd i z (1), w myśl własności 1.19.4, dostajemy

88 5. PUNKTY OSOBLIWE ODOSOBNIONE

(2)

/,

J C_R

exp iz

dz

< 2_ 7T R ~ aR aR¹

2 4- TT

Przechodząc w (2) do granicy przy R To kończy rozwiązanie.

aR

+oo, otrzymujemy (*).

□

Zadanie 6. Pokazać, że

(*)

sin#

t

Rozwiązanie. Funkcja / określona wzorem f(z) = (expiz — l)/z jest holomorficzna w C^x i, na mocy zadania 1, rozwija się tam w szereg potęgowy

;n+l

n=0

(n + 1)!’

Jeśli położymy /(O) = i, to tak rozszerzona funkcja, na mocy lematu 1.32.1, jest holomorficzna w C, czyli całkowita. Stąd wynika, że funkcje Re/|_E i Im/|_R są ciągłe.

Dla dowolnego R > 0 określmy krzywą zamkrńętą

r a = [-R, R} + c_r,

gdzie Cr jest lukiem okręgu o opisie parametrycznym : (0, rr) 3 t f—* R exp it G C. W inyśl zadania 3, dla dowolnego R mamy

(1)    f f(z)dz = 0.

■'r«

Z drugiej strony, z określenia. T_R i z własności 1.19.3 (c) i (d) dostajemy

-R -f 2 Rt E (—R, R}, mamy

2Rt)2Rdt — f f(t)dt = J-r

/    P f{-R +

J{~R_tłi\    JO

exp it — 1 t

dt —

cos t — " t

dt -f- i

sini ,

-dt.

t

Stąd, ponieważ w przedziale (—R, i?) symetrycznym względem 0 całka z funkcji nieparzystej jest równa zeru i całka z funkcji parzystej jest równa dwóm całkom w przedziale (0, R.) z tej funkcji, dostajemy

(3)    f f{z)dz = 2 ii    dt.

J\-R,R]    Jo t

Pokażemy teraz, że

(4)    lim [ f(z)dz — —Tri.

R^+oc J_Cr

Istotnie, mamy

[    f(z)dz= f*

JCn    JCr    Z    J_Cr Z

dz r iii exp it ,

— — /    —-dt — m.

z J_Q R exp it

Stąd i z zadania 5 dla a — 1 dostajemy (4).

Przechodząc w (2) do granicy przy R —> +oo i korzystając (1) (3) i (4), dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Pokazać, ze funkcja całkowita f jest wielomianem stopnia < k dokładnie wtedy, gdy istnieje stała M > 0 taka, źe

(*)    1/ (*)| < M (l + 1*1*) dla 2 € C.

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że f(z) = a₀ +----h a_kz^k i połóżmy

M — |ao| H----+ |a-*|. Wówczas

\f{z)\<M dla |z|<l i

dla \z\ > 1,

1/[z)\ <M\z\^k

1

   f f{z)dz= f f(z)dz+ f f(z)dz.

Jv_R    Jc_r

Przechodząc od całek krzywoliniowych do zwyczajnych, korzystając z opisu parametrycznego odcinka i dokonując podstawienia (0,1} 9 # »—>