0507

509

§ 2. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

Rozwiązanie, (a) Punkty osobliwe: oo i (dla a<\) także 0. Jeżeli rozbijemy całkę na dwie: / —

o

1 00

= / +/, to pierwsza całka jest zbieżna dla a>0 (nieskończenie duża rzędu 1—a<l względem x), a druga o 1

dla a< 1 (nieskończenie mała rzędu 2—a>l względem 1/jc). A więc ostatecznie całka jest zbieżna dla 0<a<l.

CO 1 CO

(b) Punkty osobliwe oo i 0. J = / +/ . Biorąc 0<A<1 mamy 0 0 1

ln x . 1 1+*² ' jr*

jt*ln x

1+je²

-*■ 0,

gdy x

0.

1

Całka / jest zbieżna. Jeżeli natomiast 1 </t<2, o

In x . 1 l+x² ’

*²

l+x²

ln x

x

i-n

0,

gdy

X -*■ oo ,

a więc całka J jest zbieżna. Stąd otrzymujemy zbieżność /.

(c) Punkty osobliwe oo i 0 (dla p< 1). Całka j istnieje tylko dla p>0 (nieskończenie mała rzędu

o

1 “

ł —p względem—), f istnieje dla każdegop, ponieważ dla A> 1 mamy

* ,

w.^+P-1

\/x^x

■ 0, gdy x -*• oo.

Całka f istnieje dla p>0.

o

W dwóch następnych ćwiczeniach zakładamy o funkcjach rozpatrywanych w skończonym (lub nieskończonym) przedziale <o, by, że mają one w tym przedziale (lub w każdej jego części skończonej, gdy przedział jest nieskończony) co najwyżej skończoną liczbę punktów osobliwych.

6)    Udowodnić, że:

(a)    jeśli funkcja f² jest całkowalna, to sama funkcja fjest bezwzględnie całkowalna (o takiej funkcji mówimy, że jest całkowalna z kwadratem),

(b)    jeśli obie funkcje figsą całkowalne z kwadratem, to ich suma f+g też jest całkowalna z kwadratem,

(c)    przy tych samych założeniach iloczyn fg jest funkcją bezwzględnie całkowalną.

Na mocy twierdzenia porównawczego wynika to od razu z nierówności

l/l <    , (/+»)* < 2 (f²+g²),    \fg\ < ?+£■.

7)    Dla funkcji tej klasy można wyprowadzić takie same nierówności całkowe, jakie wyprowadziliśmy w 321 przy założeniu całkowalności rozpatrywanych funkcji w sensie właściwym. Jeżeli na przykład jedynym punktem osobliwym jest we wszystkich przypadkach b (które może być także równe oo), to wystarczy napisać którąś z nierówności całkowych dla przedziału <.a, x_ay, gdzie a<x₀<b, a następnie przejść do granicy, gdy x_Q -*■ b, aby przekonać się, że nierówności zachodzą także dla całek niewłaściwych. Poza tym, ze zbieżności całek po prawej stronie nierówności wynika zbieżność całek po lewej stronie, analogicznie jak w 375, 8), gdzie mieliśmy do czynienia z szeregami nieskończonymi.