0491

493

S 1. Całki niewłaściwe o granicach nieskończonych

(c) Gdy¹-¹ 1, funkcja podcałkowa ma granicę 0. Niech będzie 1<A<2 Stosunek tej funkcji do l/x^A możemy zapisać w postaci

x^x ln:

: j/J¹—T

ln jc

1

V¹-¹

■ 0 dla x -¹■ oo .

Całka jest zbieżna.

3) To samo dla całek:

00 _# 00 (a) f -W.Ł¹.., dx (a > 0),    (b) f x¹e~“ cos xdx (ji, a >0).

i )frla+x)    ^J0

Wskazówka. W obu przypadkach mamy iloczyn funkcji ograniczonej przez funkcję całkowalną (bezwzględnie).

4) Zbadać zbieżność całki (<x>0)

J dx J sin (fi³x³) dfi = f { j sin (ft³x³) dfi} dx (¹) .

Postaramy się oszacować rząd małości całki wewnętrznej dla x -¹■ oo. Podstawiając w niej j?²¹³ = z, mamy

Z uwagi na zbieżność całki / ^S‘”_f dz [476] można dobrać taką stałą L, żeby dla wszystkich A > O było o

< 2 L.

I r sin z .

\hiT^dz

A więc bezwzględna wartość całki J sin (fi²x³) dfi nie przewyższa L/x³¹². Stąd wynika już zbieżność roz-

o

patrywanej całki.

5) Wykazać zbieżność całek (a, k, 2>0):

(a) /    dx, (b) f _e«°¹22^-dx,

J k²+x³    J

(0

f |]„ ŚSJL dx, (d) f ^sin^⁺¹-^łI dx.

Rozwiązanie: We wszystkich przypadkach korzystamy z kryterium Dirichleta.

%

(a) g(x) —    nionotonicznie maleje dla dostatecznie dużych x i dąży do zera, gdy x -> oo.

A

Całka J sin ax dx jest oczywiście ograniczona.

1

Przyjmiemy tu bez dowodu, że całka „wewnętrzna” jest funkcją ciągłą zmiennej x.