matrozw5

188 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI

Stąd

e² e ^2z +e ² e ²

Funkcja podcałkowa ma na płaszczyźnie C dokładnie jeden punkt osobliwy odosobniony z = 0. Mamy następnie

/O)

1 / i - JL - i _L\

= — ( e²e ^2z +e ²e^2z ) =

⁼ (ł⁺ J ⁺ i^2\ ⁺ -) (‘”i⁺    "•) ⁺

⁺ (t " t⁺ 2^r ^_ -) (¹⁺ i ⁺ 2^tf ⁺ -)

więc

n = 0

czyli res₀/(z) = 2/₀(l), gdzie J₀ oznacza funkcję Bessela pierwszego rodzaju, rzędu 0. Korzystając z tw. całkowego o residuach, otrzymujemy ostatecznie

/= 2iw- i- -2/0(1) = 2n/₀(l)

Uwaga. Ponieważ funkcja x -* y = cos (sin x) jest okresowa (okres podstawowy wynosi 2it) oraz parzysta, więc

K    Jl

/ = J cos (sin Jt) dx = 2 J cos (sin at) dx

Stąd

f cos (sin x) dx = łt/₀(l) ~ 2,404 2.5. Odwzorowania konforemne

6. Równość |z| = 2|z + 2| jest równoważna równości |z|² = 4|z+2|², czyli x²+y² = 4 (x+2)²-(-4y²,    * = Re z, y = Im z

a więc

Linia L jest zatem okręgiem o środku S

i promieniu r = — . Ponieważ

ten okrąg nie przechodzi przez punkt O (którego obrazem w inwersji jest oo), więc / (L) jest okręgiem. Niech

v = Im w

w = —, w = Re w, Z

Ponieważ

x+iy =

1

u+w

więc x = —x-=-

u² + v²

oraz y =

— v

u² + v²

Równanie okręgu / (L) jest zatem następujące

czyli

(u 8 V V«² + f² + 3 y

(u² + t>²)²

26

9

Okrąg /(L) ma więc środek S

(-H

oraz promień r_t =

1

■oo < x < +00

7. Odwzorowanie (1.5.24) jest homografią. Ponieważ w(—1) = /, w(0) = = —1 oraz w(l) = —i, więc (tw. 4) obrazem prostej Im z = 0 w odwzorowaniu (1.5.24) jest okrąg przechodzący przez punkty: i, — 1 oraz —i, czyli okrąg |w>| = 1. Mamy w (i) = 0, więc obrazem górnej półpłaszczyzny jest koło |w| < 1. Piosta Im z = 1 ma równanie z = x+i, — oo < x < +oo. Homografia (1.5.24) przekształca tę prostą na okrąg bez punktu w = 1, który w tym odwzorowaniu jest obrazem punktu oo. Równanie tego okręgu jest postaci x

w =

x+2i ’

więc oznaczając u = Re w, c = Imw, otrzymujemy

— 00 < X < +00

— 2x

u =

x²+4 * ^V x² + 4’

Rugując z tych dwóch równań parametr x (zauważamy, że 2u — — vx) otrzymujemy

Na rysunku 2.5.1 zilustrowano to odwzorowanie.

Rys. 2.5.1