matrozw4

186 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI

Rys. 2.4.1

7. a) Postępujemy podobnie jak w zad. 4. Przyjmując z = e'*, 0 < x < 2n,

mamy

sm

oraz dz = iz dx

Stąd

IZ

1 = f e

1*1-»

Punkt z = 0 jest punktem osobliwym odosobnionym funkcji podcałkowej. Ponieważ

,2    111    i

1 u — e -e iz

i

2lz

+

(20*-2! z*

■]

więc z = 0 jest punktem istotnie osobliwym funkcji podcałkowej, przy czym jej residuum w tym punkcie wynosi

I I    1    1    Y¹ 1

i    ⁺ 2H    ⁺ 2U2\)²i    ⁺ "• “ i    Zj    4^B(n

(2\)²i ' i Z_j 4”(n!)²

n=0

Na podstawie tw. całkowego o residuach otrzymujemy

00

^{7 = 2}* X 4^B(n!)²

n = 0

Uwaga. Obliczona całka ma tę samą wartość co całka (1.4.17). b) Ze względu na okresowość funkcji sinus, mamy

5h/2 _cos (x— -)

J e⁵ⁱⁿ = J e^s,n x dx = j e ² dx = f

o    n/2    */2

co potwierdza treść ostatniej uwagi.

2*    5*/2    5(1/2 cosfr--!    2*

' dx

8. Funkcja podcałkowa ma na płaszczyźnie C dokładnie dwa punkty osobliwe odosobnione, a mianowicie bieguny rzędu drugiego w punktach Zj = — r oraz z₂ = i.

Z uwagi na okrąg po którym całkujemy, interesuje nas tylko pierwszy z tych punktów (proszę wykonać odpowiedni rysunek). Na podstawie wzoru (1.4.5) otrzymujemy

res.

sin z

‘JT^y

.. d sin z    (z-i) cos z-2 sin z

= lim    = hm —

,-tdz (z-i)²

(z-i)³

Ponieważ

cos

oraz

sm

więc

_1_

4e

cos z

res_,

(1+z²)²

Na podstawie tw. całkowego o residuach otrzymujemy ostatecznie r sin z    _ JL/

li^l+z²)²® 2e ‘

9. a) Funkcja podcałkowa ma nieskończenie wiele punktów osobliwych odosobnionych z_k — kn, k = 0,± 1, ±2, .... W kole ograniczonym okręgiem |z| = 4 znajdują się dokładnie trzy z tych punktów: z_x = — n, z₂ = 0 oraz z₃ = rc. Punkty z, i z₃ są biegunami rzędu pierwszego funkcji podcałkowej, punkt zaś z₂ = 0 jest jej punktem pozornie osobliwym. Na podstawie wzoru (1.4.4) mamy

-1

sm z

ze"^zcosz —rte^-"^—1) res_„-_:-=--i—- = -Tte^-"’¹

oraz

r

\

res.

ze"* cos z    — 1)

= ne"

sin z    — 1

Korzystając z tw. całkowego o residuach otrzymujemy /i = 27ti'-it (e"ⁿ—e^-"") = 4ir²/sh/wt

(residuum funkcji w jej punkcie pozornie osobliwym jest równe zeru). Ponieważ

IAI = 4tc²

e" -e'

, więc |/j| < 2rcV^t dla każdego ne N

b) Postępując podobnie jak w pierwszej części zadania otrzymujemy I₂ = 2iti-7t (e¹""—e^-"¹") = — 4tc² sinmr = 0 dla każdego neN

10. Podstawiamy z = e^,JC, 0 < x < 2n; dz = iz dx. Ponieważ

sin* = -^-^z— °raz cos (sin jc) = y (e^,$lnjc + e^_islnx)

więc

1 / i _ J_ _ 1 JL\ cos (sin x) = y I e² e ²²+e ²e^2zl