matrozw7

192 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI

czyli

y/2 .    . \fl ,

w = —₂~ch V-/—₂—shy,

0 < y < + oo

Oznaczając u = Re w, v — Im w otrzymujemy równania parametryczne tej linii

y/2

u = ch y

(2.5.3)

O ^ y < + oo

y/2

v = —-r— sh y

1

Ponieważ eh²}*—sh².y = 1, więc u² — v² — — . Obrazem półprostej L w odwzorowaniu (1.5.26) jest zatem gałąź hiperboli, o równaniach (2.5.3). Obrazem półprostej Z = f +iy, o < +oo w odwzorowaniu (1.5.26) jest linia o równaniu w =

= — sin iy, O < +oo, czyli półprosta w = -ishy, O ^.y < +oo. Zauważmy ponadto, że ponieważ cos 0=1, więc punkt 1 nie należy do obrazu obszaru D w odwzorowaniu (1.5.26). Na rysunku 2.5.3 przedstawiono ten obraz.

Rys. 2.5.3

10. Można dokonać odwzorowania w_t = cos z (patrz rys. 1.5.13) a następnie

₌ I-*,

1 —COS Z

odwzorowania w = -—— . Szukanym odwzorowaniem będzie wówczas

1+W!

czyli w = tg² —

w =

1+cosz’ ^J.....° 2

11. Można dokonać odwzorowania = — (obrazem będzie koło |Wj| < 1

z

W₂ = Wj +

bez odcinka o końcach —1 i 0), następnie odwzorowania 1

Mb

(por. z odwzorowaniem Żukowskiego), które prowadzi do obszaru C—{zeC: Rez<2Almz = 0}

następnie dokonać przesunięcia w₃ = w₂ — 2, wreszcie dokonać odwzorowania w = = y/₀w₃. Każde z tych odwzorowań składowych jest konforemne, więc takim będzie lównież szukane odwzorowanie

Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiam Czytelnikowi.

12. Zakładamy, że istnieje homografia H

= ^ad~^bc*°

spełniająca warunki l°-3°. Ponieważ punkty 0 i oo są symetryczne względem okręgu |z| = 1, punkty zaś — oraz 1 są symetryczne względem okręgu |z+l| = 1, więc z warunku 2° wynika (tw. 4), że H(oo) = 1. Z tego warunku wynika także, że H (0) = — = — -i-, więc d # 0, a zatem

H(z) =

az+P yz+ 1

= 1. Z warunku 3° otrzymujemy

Mamy H (0) = fi = —— oraz H (oo) = — 2    y

i/(l) = — —-f- = 0’ więc a+P = 0 ?T *

(y +1 7^ 0, ponieważ warunki ad—bc ¥=■ 0 oraz a + p = 0 implikują warunek a (1 +y) # 0). Stąd a = y,    oraz 7 = y. więc

= <^2Ł4>

Należy sprawdzić, że ta homografia spełnia warunki l°-3⁰. Ponieważ H( 1) = 0, H(— 1) = —2 oraz

H(0 =

— H-3i 5

więc |tf(l)+l| = |ff(-l)+l| = |/f(0+l| = 1. Punkty H( 1), //(— 1) oraz H(i) znajdują się zatem na okręgu 1 w +11 = 1, więc warunek 1° jest spełniony. Warunki 2° i 3° są także spełnione. Szukaną homografią jest więc (2.5.4). Na rysunku 2.5.4 zilustrowano to odwzorowanie.

13. Korzystając z tw. 2 (wzór (1.5.5)) otrzymujemy

H (z)»

1    z— 1

2    * z—2 12 Matematyka...