matrozw1

180 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓW '

7. Równanie cos² z — 9 jest równoważne alternatywie dwóch równań

(2.3:

cos z = 3 lub cos z = — 3

Ponieważ cos (z, + z₂) = cos Zj cos z₂ — sin z_x sin z₂ (zachęcam Czytelnika do w prowadzenia tego wzoru na podstawie określeń funkcji sinus i kosinus zmiennej /■ spolonej), więc

cos z = cos (jc + iy) = cos x cos iy — sin x sin iy Mamy następnie cos iy — ch y oiaz sin iy = i sh y, więc cos z = cosxchy—/sinxshy Alternatywa (2.3.2) może być zatem zapisana następująco

lub

Stąd

z — kn + i ln (3 + 2-712) lub z = kn — i In (3 + 2 a/2) dla k = 0, +2, +4, oraz

z = kn + i\n(3 + 2s/2) lub z = kn — /ln(3 + 2^2) dla k = ± 1, ±3,... Ostatecznie, rozwiązanie równania cos² z = 3 jest następujące z = *7i + i'ln(3 + 2>/2)    lub z = kn-i\n(3 + 2 y/2)

dla k = 0, +1, +2,....

8. Ponieważ |w>|² = w, więc

e^(x—z e~^ix—z _ 1 — zc^tx—ze^_(x+|z|² ze^lx—1 ze^_ix—1    |z|²—ze^ix—zs~^ix+1 ~

Stąd |w| = 1.

Uwaga. Jeżeli |z| = 1, to liczba w nie jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy *-arg z = 2nk, k = 0, ± 1, ±2,.... W przypadku przeciwnym |h»| = 1.

9. Skorzystamy kilkakrotnie ze wzoru Moivre’a (1.3.1). Ponieważ

oraz

,vięc z = — 1. Następnie na podstawie wzoru (1.3 3) i wzoru Eulera, mamy

3i—t    n + 2nk . . n+2nk

yj - l = cos-=-+i sin---

dla k = 0, 1, 2,

więc ostatecznie

.. 73

10. a) Mamy

Z„(x) = C_n(x)+iS_n(x) = e"(l + e‘²*+ ... + e'^2B*)

Korzystając ze wzoru na sumę (n+ 1) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie e'²* oraz ze wzoru Eulera, otrzymujemy

^Z"=2

i    1 - cos 2 (n+ 1) x — i sin 2 (n +1) x

sin*

, dla x # kn, k = 0, ±1, ±2,...

Ponieważ 1 — cos 2 (n+1) x = 2 sin² («+1) x, więc

^ _s sin2(n+l)x , . sin²(n +1) x AiW — --z~r--H

2 sin x

sin x

Stąd

sin²(/i + l)x

C_n(x) =

oraz S„(x) =

sin 2 (n+ 1) x

2 sin x    ” '    sin x

dla x ^ kn, k = 0, ± 1, ±2,.... W przeciwnym przypadku mamy S_n(x) = S„(kn) = 0 oraz C„(x) = C„(A:jr) = («+!)(-l)^k

b)    Ponieważ sin 2 («+1) x = 2 sin (n+1) * cos (n+ 1) *, więc

S„² (x) + Cl (x) =    ~ dla * # kn, k = 0, ± 1, ±2,...

leżeli x = kn, to

$«(*)+C²(x) = («+l)²    (2.3.3)

c)    Jeżeli n = 0, to równanie ma postać sin² y + cos² x = 1, więc jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą x. Jeżeli n ^ 1, to wobec (2.3.3) żadna z liczb x = - kn, k = 0, ± 1, ±2,... nie spełnia danego równania. Należy więc rozwiązać równanie sin²(n + 1) x = sin² x w zbiorze

{jc€ R: x & kn Ak = 0, ± 1, ±2,...}    (2.3.4)

Ponieważ sin²(n+ 1) x— sin² x = sin nx sin (n + 2) więc zadanie sprowadza się do rozwiązania równania sin nx sin (/H-2) x = 0 w zbiorze (2.3.4). Stąd

(2.3.5)

x = —,    p=± 1, ±2,...,    — £ N

n    n