matrozw7

192 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓWKI

czyli

0 < y < + oo

y/2    . .y/l ,

w = -y-ch.y-i-^— shy,

Oznaczając u = Re w, v = Im w otrzymujemy równania parametryczne tej linii

V2

u =

ch_y

\J² .

v — —sh y

0 < y < + oo

(2.5.3)

Ponieważ ch²^—sh²j = 1, więc u² — v² = — . Obrazem półprostej L w odwzorowaniu (1.5.26) jest zatem gałąź hiperboli, o równaniach (2.5.3). Obrazem półprostej z = j +iy, 0    < +oo w odwzorowaniu (1.5.26) jest linia o równaniu =

= — siniy, 0 < y < + oo, czyli półprosta w = — ish_y, 0    < +oo. Zauważmy

ponadto, że ponieważ cos 0=1, więc punkt 1 nie należy do obrazu obszaru D w odwzorowaniu (1.5.26). Na rysunku 2.5.3 przedstawiono ten obraz.

Rys. 2.5.3

10.    Można dokonać odwzorowania w_t = cos z (patrz rys. 1.5.13) a następnie

odwzorowania w = -—— . Szukanym odwzorowaniem będzie wówczas

1 + w,

1— COS Z    ..    -Z

w = —-, czyli w = tg² —

1+cosz    2

11.    Można dokonać odwzorowania w_l = — (obrazem będzie koło [wj < 1

z

w₂ = Wj +

bez odcinka o końcach —1 i 0), następnie odwzorowania 1

(por. z odwzorowaniem Żukowskiego), które prowadzi do obszaru C—(zeC: Re z < 2 Alm z = 0}

następnie dokonać przesunięcia w₃ = w₂ — 2, wreszcie dokonać odwzorowania w = = V₀w₃ . Każde z tych odwzorowań składowych jest konforemne, więc takim będzie ićwnież szukane odwzorowanie

Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiam Czytelnikowi.

12. Zakładamy, że istnieje homografia H

H (z) = ^az+b    b_c 0

cz+d

spełniająca warunki l°-3°. Ponieważ punkty 0 i oo są symetryczne względem okręgu |z| = 1, punkty zaś - y oraz 1 są symetryczne względem okręgu |z+1| = 1, więc z warunku 2° wynika (tw. 4), że H(oo) = 1. Z tego warunku wynika także, że H(0) = — = ——, więc d / 0, a zatem

H(z) =

az+P yz+1

Mamy H (0) = /? = —

1

oraz H (co) = — = 1. Z warunku 3° otrzymujemy V

1/(1) = -^g^v = 0, więc a + /? = 0

y+1

(y + l#0, ponieważ warunki ad—bc / 0 oraz a+/J = 0 implikują warunek a (1 +?) ^ 0). Stąd a =—,/?=— y oraz y = y, więc

"w - -y-    <“-⁴>

Należy sprawdzić, że ta homografia spełnia warunki l°-3°. Ponieważ //(l) = 0, H{— 1) = —2 oraz

H(i) =

— 1 + 3/ 5

więc |tf(l)+l| = |/Z(—1)+1| = |J7(i)+l| = I- Punkty H( 1), H(-l) oiaz H(f) znajdują się zatem na okręgu |w+l| = 1, więc warunek 1° jest spełniony. Warunki 2° i 3° są także spełnione. Szukaną homografią jest więc (2.5.4). Na rysunku 2.5.4 zilustrowano to odwzorowanie.

13. Korzystając z tw. 2 (wzór (1.5.5)) otrzymujemy

1    . z— 1

2    z—2

13 Matematyka...