matrozw2

182 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓ**

oraz

182 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓ**

pn

p — ± 1. ±2,

\P\

(2.3*

n+2’ ^r ~ ’~ ’    ’    n+2

Zachęcam Czytelnika do bezpośredniego rozwiązania równania .S²(x)+C²(x) - i czyli równania (sin x+sin 3x)² + (cos x+cos 3x)² = 1 oraz porównania pierwinn

ków tego równania ^x = y +⁷¹^ lub ^x =    + nk, k = 0, ±1, ±2, ...^ z pir

wiastkami wynikającymi ze wzorów (2.3.5) i (2.3.6).

11. Na podstawie wzoru Moivre’a

(cos x+i sin x)⁶ = cos 6x+i sin 6x    (2.3.

na podstawie zaś wzoru Newtona

(cosx+/sinx)⁶ = cos⁶x +

j , cos" x i sin x — .

-G)

cos⁴ x i sin⁴ x+ cos² x sin⁴ x+ cos x i sin⁵ x—sin⁶ x (2.3 *

Porównując części rzeczywiste prawych stron lówności (2.3.7) i (2.3.8) oraz uwzglę niając, że    = 15, otrzymujemy

cos 6x = cos⁶ x—15 cos⁴ x sin² x+15 cos² x sin⁴ x — sin⁶ x Ponieważ sin² x = 1— cos² x, więc ostatecznie cos 6x = 32 cos⁶ x —48 cos⁴ x+18 cos² x— 1 Podstawiając u = cos² x, mamy więc cos 6x = W (u), gdzie W (u) = 32h³-48m² + 18u-1,    0<«<1

Obliczamy pierwszą i drugą pochodną wielomianu W W'(u) = 96«² —96a+18,    W" (u) = 192w-96

więc

1    3

łV'(u) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = — lub u = —

maksimum lokalne równe W

Ponieważ W" [ — ) < 0 oraz W" ( — ) > 0, więc wielomian W ma w punkcie u -1    V4/    Vv/i\    3

—    —---- — ------- ^,jr/l — 1 = 1 oraz ma w punkcie u = — mim

mum lokalne równe W

(*)-■

W celu znalezienia pierwiastków wielomianu M

zauważmy, że u = cos² x jest pierwiastkiem tego wielomianu wtedy i tylko wted\ gdy cos 6x = 0, a więc wtedy i tylko wtedy, gdy

tc kn

*-TT ⁺ ir-

k — 0, +1, +2,...

Mamy następnie

COS'

(7t kn\ ,

12 ⁺ -r) =^cos

12

, kn . , tc . , kn    1 kn

cos² - + sin² —— sm² —---— sin -

o    12 o 4    3

*ięc

COS'

(ii kn\

TT ⁺ -)‘

V3

cos²

kn

+ sm²

7t

12

—t sin 4

kn

T

(2.3.9)

1'onieważ okresem podstawowym kwadratu kosinusa jest 7t, zaś okresem podstawowym sinusa jest 2ti, więc wszystkie wartości prawej strony równości (2.3.91 można ■naleźć przyjmując k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Tymi wartościami są trzy liczby (należące lo przedziału <0; 1))

sin²

71

V3

+ sin²

TT

12

oraz

V3

+ sin²

71

12

(2.3.10)

12 ’    4    '    12    ~    2

•>ędące pierwiastkami wielomianu W. Zachęcam Czytelnika do sporządzenia wykresu wielomianu W na przedziale <0; 1> Wykres ten ma punkt przegięcia.

gięcia P ^, 0^.

Wynika stąd, że drugi z pierwiastków (2.3.10) wielomianu jest równy —

Inny sposób wyznaczenia pierwiastków wielomianu W. W celu i ozwiązania równania W (u) = 0 wprowadzamy nową niewiadomą w = 2u. Stąd

4w³ —12w² + 9w—1 = 0    (2.3.11)

Jednym z pierwiastków tego równania jest liczba 1. Dzieląc lewą stronę równania (2.3.11) przez w— 1, otrzymujemy 4w² — 8w-)-1. Pierwiastkami tego trójmianu

są liczby 1 - oraz 1 +

Stąd otrzymujemy pierwiastki wielomianu W

2

V3

1

2

oraz

1

2 ⁺

V3

4 ’    2    2 '    4

l iczby te są odpowiednio równe liczbom (2.3.10), ponieważ

sin²

7C 1 /    7l\    1 V3

TT - 2(¹-^cos6j-J--*-

Zauważmy na zakończenie, że pierwiastki wielomianu W zapisane w kolejności od najmniejszego do największego, tworzą ciąg arytmetyczny.

(2.3.12)

12. Każdy okrąg K na sferze 5 (patrz rys. 1.3.2) jest przecięciem pewnej pła-/.czyzny 17: A^ + Br\ + C£+D = 0 z tą sferą. Odległość płaszczyzny 77 od punktu O (0, 0, 0) jest mniejsza od jedności, więc korzystając ze wzoru (1.2.13) otrzymujmy warunek |Z>| < \J A² + B² + C². Stąd D² < A² + B² + C²