matrozw3

184 2. ROZWrAZANIA I WSKAZÓWKI

Korzystając z równania płaszczyzny TI oraz ze związków (1.3.8) otrzymujemy

(C+D)(x²+y²) + 2Ax + 2By+(D-C) = 0    (2.3.13)

Jeżeli C+D # 0 (czyli gdy punkt (0, 0, 1) nie leży na płaszczyźnie 77, tzn. gdy nir leży także na okręgu K), to równanie (2.3.13) przedstawia okrąg

A

C+D

*_y

C+D )

A² + B² + C² — D² (C+D)²

(por. warunek (2.3.12)). Jeżeli C+D = 0, czyli gdy punkt (0, 0, 1) leży na okręgu K. to równanie (2.3.13) jest postaci Ax+By+D = 0. Z warunku (2.3.12) wynika, żc w tym przypadku A² + B² > 0, więc otrzymane równanie jest równaniem prostej. Uzupełniając tę prostą punktem oo, otrzymujemy zbiór punktów rozszerzonej płaszczyzny zespolonej C, którego obrazem w rzucie stereograficznym jest okrąg A'.

Uwaga. Zachęcam Czytelnika do samodzielnego udowodnienia, że rzutem stereograficznym każdego okręgu lub prostej uzupełnionej punktem oo jest okrąg. Równania okręgu i prostej wygodnie jest przyjąć w postaciach

x²+y² + 2ax + 2by+c = 0    (a² + b² > c) oraz

Ax + By+C = 0    {A²+B² > 0)

13. Mnożąc i dzieląc obie strony równości (1.3.25) przez 2ⁿ⁺¹ otrzymujemy

G«4r-(ł"4r-

(cosy +isiny) - [cO! ( - y) + ( Sm ( - |-)] Korzystając następnie ze wzoru Moivre’a, otrzymamy

sin

(n+1) n

więc n - 3k— 1, k = 1, 2,...

Wyznaczony ciąg liczb naturalnych {3k— 1} jest ciągiem arytmetycznym. Stąd

Rozwiązując nierówność 3p²+p-200 > 0 z warunkiem p e N stwierdzamy, że S„ > > 100 wtedy i tylko wtedy, gdy p e N i p > 9.

14. Oznaczając w = 2z otrzymujemy e^w + e ^w = —2, więc e^w = —1. Stąd w = Ln(—1) = ni+2nki, k = 0, ±1, ±2..... Mamy następnie

2    —2 i

tgz+ctgz — —:-, więc    tgz + ctgz = —r-—

sin w    sh(7t + 27tk)

gdzie k = 0, ±1, ±2,....

2.4. Metoda residuów 6. Metoda residuów. Skoizystamy ze wzoru (1.4.8), przy czym P₂(z) - z²

p

oraz 0₄(z) = (z²+a²)(z² + b²). Funkcja—— ma w górnej półplaszczyźnie dwa

Q4

bieguny rzędu pierwszego: r, = ai oraz z₂ = bi. Na podstawie wzoru (1.4.6) otrzymujemy

Pi (z)    ,■    z²    g

<2*(z)    (z+ai)(z²+b²) 2i(a² — b²)

oraz

res_bi

Pi (z)

= lim-

-b

Q* (z)    "Z] (z² + a²) (z + bi) 2i (a² - b²)

(można było także skorzystać ze wzoru (1.4.4)). Stąd

1 a—b    k

^a ,b    2u i

a² — b² a + b

Metoda klasyczna. Rozkładając funkcję podcałkową na ułamki proste, otrzymujemy

x²    _    —d²    1    b²    1

(x² + a²){x²+b²)    b²—a² x² + a² + b² — a² x²+b²

Ponieważ

c

oraz podobnie

T

f dx 1    .

J -2 : Ł2- = T ^arct§

+b² b ⁵ b t-.+oo 2b

T r dx	T/a - ^1 f
J x^2 + a^20	a J 0

więc

f _£

J (x² + a²

x²dx

—a²    71 ₊    ⁷¹

(x² + a²) (x²+b²)    b²—a²    2a    b² — a² 2b 2 {a+b)

Funkcja pod całką (1.4.30) jest parzysta, więc I_a._b = —-—. Z warunku I_a._b < n

a + b

otrzymujemy a+b > 1. Szukany zbiór par (a, b) jest więc określony następującą koniunkcją warunków

a > 0 i b > a i a+b > 1

Na rysunku 2.4.1 przedstawiono ten zbiór punktów.