1002889894

g3ffl6fcgia_wsgiaśgm-daKain&3-BłaazssgBg (pi)

Równanie płaszczyzny (pi): Ax + By + Cz + D = O Przypomninie

Dowolna płaszczyzna może być wyznaczona jednoznczanie przez 3 różne punkty, lub 1 punkt i dwa różne kierunki, lub przez 2 punkty i 1 kierunek, różne od kierunku prostej przechodzącej przez te punkty.

Wyznaczanie wzoru na P' względem dowolnej płaszczyzny

Podstawiamy P_t, P₂,P₂pod wzór Ax + By + Cz + D = 0;

|A*x₁+B*y_I+C*z₁+D₁=0 j

\A*x₂+B*y₂+C*z₂ + D₂= 0 • z tego układu możemy wyznaczyć A,B,C,D.

I A*x₃+fi*)'₃+C*z₃+.D₃=0 I

Wektor n = [A,B,C] jest prostopadły do płaszczyzny. Prosta wyznaczona przez punkt P₀ i kierunek v ma równanie P= P₀+t*V , gdzie tGR

IX=X₀+t*V_x\

y=y_a+t*v\ p_ap_l£i _v=/VF\ v=[x_J-x₀,y_l-y_Q,z_l—z₀] z=z₀+t*v_z\

gdy fG[0,l], otrzymujemy odcinek PqP\

Znajdziemy punkt Q nalężący do (pi) taki, że prosta 1 przechodząca przez P i Q jest prostopadła do (pi). Równanie prostej 1:

| X=x+t*n_x Y=y+t*n_},

\z=z+t* n_z

gdzie x,y,z są współrzędnymi punktu P, n = [n_x, n_y,n_z]=[A, B, C] wektor prostopadły do płaszczyzny (pi) (n jest wektorem normalnym płaszczyny (pi)), tSR »    (X,Y,Z)

otrzymane punkty prostej 1.

fx=;t+r*Aj

\Z=z+t*C)

Sprawdzimy dla jakiego tGR punkt (X ,Y ,Z)GR ■ Punkt ten musi spełnić równanie płaszczyzny

A{x+t_q*A)+B(y+t_q*B) + C(z+t_q*C)+D= 0 t_q(A^{1 2}+B¹+C¹)=-(A*x+B*y+C*z+D)

_ (A*x + B* y + C*z + D)

{a¹+b¹+c¹)

iatem mamy Q (x+t_q*A , y+t_q*B, z+t_q*C) . Ponieważ PQ=PQ' , więc otrzymujemy równanie Q - P = P' - Q,

, gdzie (A¹ + B¹+C¹)^0

P mamy równość czyli P' = 2*Q - Q

wektorów

x'=2(x+tq*A)—x		x'=x+2*tq*A
y'=2 (y+t,*B)-y	=	y '=y+2*tq*B
z'=2 (z+t*C)-z		z'=z+2*tq*Ci

1

   Szukanie t_{q)

2

   Wyznaczanie P³

3

   Funkcja szukająca równania płaszczyzny