matrozw1

180 2. ROZWIĄZANIA I WSKAZÓW»|

7. Równanie cos² z = 9 jest równoważne alternatywie dwóch równań cos z = 3 lub cos z — — 3    (2.3.2|

Ponieważ cos (z, + z₂) = cos z_t cos z₂ — sin sinz₂ (zachęcam Czytelnika do w>. prowadzenia tego wzoru na podstawie określeń funkcji sinus i kosinus zmiennej spolonej), więc

cos z = cos (* + iy) = cos x cos iy — sin x sin iy Mamy następnie cos iy — ch y oraz sin iy = i sh y, więc cos z = cosxchy—/sinxshy Alternatywa (2.3.2) może być zatem zapisana następująco

{cos x ch y = 3    ( cos x ch y = — 3

u a lub { .    . _n

sinxshy = 0    ( sm;cshy = 0

Stąd

z = k7t + /ln (3 + 2 -Jl) lub z = kn —i In (3 +2    dla k — 0, + 2, +4,

oraz

z = kn + i ln (3 + 2 ^2) lub z = kn — i ln (3 + 2 *Jl) dla k = ±1, +3,... Ostatecznie, rozwiązanie równania cos² z = 3 jest następujące z = kn + i ln(3 + 2\/2) lub z = kn-iln(3+2_N/2) dla k = 0, +1, +2,....

8. Ponieważ |w|² = ww, więc

_ e^,x—z e~^ix—z _ 1 — ze^ix—ze^_,x+|z|² źe^ix— 1 ze~'^x—l |z|²—ze^lx—ze~^lx +1

Stąd | w| = 1.

Uwaga. Jeżeli |zl = 1, to liczba w nie jest określona wtedy i tylko wtedy, gdy *—arg .• • = 2nk, k = 0, ± 1, ±2,.... W przypadku przeciwnym |»r| = 1.

9. Skorzystamy kilkakrotnie ze wzoru Moivre’a (1.3.1). Ponieważ

₍₁+0¹²(-0¹⁰ = (y/2)¹² _+im (-1) -

=    — 2⁶    ^cos + i sin ^    — — 2⁶(cos 3rc + i sin 3tt) = 2⁶

oraz

(v/3 + i)²(l “* n/3)⁴ =    2⁶ ^cos ^ + i sin    ^cos -4^- + i sin    =

/ n . . n \    / 2jc . .    2n\

=    2⁶ I cos — +1 sm y    1    I cos — +1 sin — 1    = - 2⁶

więc z = — 1. Następnie na podstawie wzoru (1.3 3) i wzoru Eulera, mamy

dla k = 0, 1, 2,

_3/-- 7t + 2jtA: . . n + 2nk

yj - \ = cos---+? sin-5—-

więc ostatecznie

. y/i

2 ⁺ ‘V

=    V₂-l = y--

n/3

10. a) Mamy

Z„( x) = C_n(x) + iS„(x) = e'*(l + e‘²* + ... +e^,2nx)

Korzystając ze wzoru na sumę (n+ 1) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie e^i2x oraz ze wzoru Eulera, otrzymujemy

^Z"=2

i 1 — cos 2 (n+1) x — i sin 2 («+1) x

sinx

, dla x ^ kn, k = 0, ± 1, ±2,...

Ponieważ 1 — cos 2 (n+1) * = 2 sin² (n+1) x, więc

^ _{/ A} sin2(/i+l)x _t . sin²(n+1) x Z„(x) —    *. •    ■    1*¹

2 sin x

sin x

Stąd

C„(x) =

sin 2 («+ 1) x

oraz S„(x) =

sin²(/i + l)x

2 sin x    '    sin x

dla x / kit, k = 0, ± 1, ± 2..... W przeciwnym przypadku mamy

S_n(x) = S„(kn) = 0 oraz C„(x) = C„(kn) = («+ 1) (-l)^k b) Ponieważ sin 2 (n+1) x = 2 sin (n+1) x cos (« +1) x, więc

S² (x) + C² (x) =    ^dla x # *iu, * = 0, ± 1, ±2,...

sin²x

Jeżeli x = kn, to

S²(x) + C„²(x) = (n+1)²    (2.3.3)

c) Jeżeli n = 0, to równanie ma postać sin² x+cos² x = 1, więc jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą x. Jeżeli « ^ 1, to wobec (2.3.3) żadna z liczb x = •= kn, k = 0, ±1, ±2,... nie spełnia danego równania. Należy więc rozwiązać równanie sin²(«+ 1) x = sin² x w zbiorze

{x€ R: x # kna/c = 0, ± 1, ±2,...}    (2.3.4)

Ponieważ sin²(n+ 1) x—sin² x = sin nx sin (n + 2) x, więc zadanie sprowadza się do rozwiązania równania sin nx sin (n+2) x = 0 w zbiorze (2.3.4). Stąd

x-HL. p=± 1, ±2,...,    (2.3.5)

n    n