118(1)

a dla nieparzystej równość

I f(x)dx — 0

—a

Rozwiązanie. Przedział całkowania [—a, a] dzielimy na dwie części za pomocą punktu x = 0 i na podstawie własności 3 otrzymujemy równość

aa    0

f f(x)dx = J f(x)dx+ j f(x)dx

—a    0    —o

W ostatniej całce wprowadzamy nową zmienną całkowania, przyjmując x = —z. Mamy wówczas dx — —dz, oraz z_x = a dla x_x - —a, z₂ = 0 dla x₂ — 0, czyli

0    0    a    a

J f(x)dx = - J f(—z)dz = J f(—z)dz = f f(-x)dx

—a    a    0    0

Ostatnia równość wynika stąd, że wartość całki oznaczonej nie zależy od tego, jaką literą oznaczamy zmienną całkowania.

Wobec tego

a

a

a

a

Jf(x)dx = jf(x)dx+ j f(—x)dx = J [f(x)+f(-x)]dx

-a    Ó    0    0

Dla funkcji parzystej mamy f(—x) = f(x), a dla nieparzystej /(—jc) = = —f(x), a więc

a

JC³

O

= 0+2 jc¹dx = 2 6

ponieważ funkcja podcałkowa w pierwszej całce jest nieparzysta, a w drugiej — parzysta.

Obliczyć całki:

600.

C X² dx ,

(*+l)⁴

601. J e^x — 1 dx; podstawiamy }/e^x — 1 =t

o

ln2

J    i podstawiamy x+l = z

602.    I y^====-; podstawiamy z = yT

603.    |    —-ⁿ* dx; podstawiamy t — l-flnx

i    *

3

604.    | xV9 — X² dx; podstawiamy x ~ 3cos<p

605.

607.

r tdt	0
J j/5+47
J 1-fe* ln 3	608. | '^h i i+v *+i
3 _	Tl 2

• / -—    ²

i ]/-£$*    ^6,°*-1 sin³<p | cos<pd<p

609*.

§ 3. Schemat zastosowania całki oznaczonej do obliczania różnych wielkości.

Pole figury płaskiej

Dzięki swej ogólności pojęcie całki oznaczonej jest szeroko stosowane do obliczania różnych wielkości geometrycznych i fizycznych.

Przy obliczaniu pewnej wielkości u za pomocą całki oznaczonej korzystamy z następującego ogólnego schematu (1):

Jf(x)dx =

r x⁵+'lx*±x³-5x¹ - 2 a-⁵4-jc

dx =

-2

' lx^Ą—5x?—2

x?+x

₃ , --dx +

’ ,v⁵ !-.v³ ! x^

dx =

1

( f(x)dx, gdy/(*) jest parzysta 6

0, gdy /(*) jest nieparzysta

Posługując się wyżej dowiedzionymi twierdzeniami można uprościć obliczenie niektórych całek. Np. bez wykonywania obliczeń stwierdzamy, że

VT    n    -3

I (3x—2x^s)dx = 0, I sin⁷ 2xdx = 0,    | /' arc sin tdt — 0

-jdT    -*    '³

ponieważ funkcje podcałkowe są nieparzyste, oraz że