232(1)

Dla n parzystych a„=0. Dla n nieparzystych (n=2fc — 1; k— 1, 2, 3, ...) mamy

^a" ⁼ (2k-\)n ^8,0 (^“t) ⁼    * (2*-l)»

Gdy n = 0, ze wzoru (3) znajdujemy

0.5    i

a₀ = 2 11™ 0,3 c/x— | 0,3tfxj = 0

0.5

W konsekwencji szukane rozwinięcie danej funkcji w niepełny szereg Fouriera, zawierający tylko cosinusy, ma postać

. . 1,2 f cos nx

... +(-!)»- ^C°^S(g~'^:—+"]

cos3nx , cos5^x

Rozwinięcie to jest słuszne w całym obszarze określoności funkcji. W przedziale (0,1) wykres funkcji różni się od wykresu sumy otrzymanego szeregu tym, że należy do niego punkt (0,5; 0), nie należący do wykresu funkcji.

b. Z kolei, aby daną funkcję rozwinąć w szereg Fouriera zawierający tylko sinusy, przedłużamy ją na sąsiedni z lewa przedział (—1,0] nieparzyście (rys. 212b).

Wtedy oczywiście a„ = 0 i ze wzoru (4) mamy

b.=

2

1

s\ntutxdx = 2

0,3sin«7r.v^A'—

i

0,5

cosnxx T . S cos htcx T'⁵    0,6 /    _ nn

= 0,6---—0,6 - = — cos?j,t-2cos ^- + 1

L ^n7t    Jo,5    L ™ Jo w\    2    /

Dla n nieparzystych b„ — 0. Dla n parzystych (n=2k) mamy b_2k =

=    , skąd dla k parzystych b„ — 0, a dla nieparzystych (k =

1 2

= 2m — 1) otrzymujemy b„ =-ę₂m-ij^~(^{w =} 2fc = 2(2m — 1); m = 1,2, 3, ...).

Szukane rozwinięcie danej funkcji w niepełny szereg Fouriera, zawierający tylko sinusy, ma więc postać

, .    1,2 | sin 2nx , sin6rr.v sini Om^- ,

^ “    ~n⁺ 3 ^H--5    + -

, sin2(2m— \)nx ⁺ 2m=l

i jest słuszne w całym obszarze określoności rozwijanej funkcji.

2) a. Przedłużając funkcję parzyście (rys. 213a), mamy b„ = 0 oraz

n    Ti

a_n = —    xcosxcosnxdx=- - Jc[cos(n+l)j:-!-cos(n — Y)x]dx =

ST J    TC

[x /sin(/i-j-l).x sin(n —l)x\T

sri »+1    + n-l jj,~

1 ffsin(H-fl).v , sin(n—l)x~|,

i »+l    ' n-l J “

467

■10*