chądzyński9

2. FUNKCJE ZESPOLONE

22

Dla n nieparzystego z (9) dostajemy zaś

7r/v

z_k = -i tg —, A; - 0,..n - 1. n

Stąd dla n nieparzystego wszystkie zera równania (*) dane są wzorami

, ., vrfc , _n n + 1

z_k = ±ztg —, k = 0,..—--1.

n    2

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 7. Rozwiązać równania:

w - (a)²³ + (")^⁵ — = o,

(b) 1-©2²+(lP⁴---—o.

(<-.) i + ę)* - G>² - ("p³ + • • • +    = o.

— a, gdzie lal = 1.

w

Rozwiązanie. Rozważmy równanie 1 — iz

1 4- iz

Z (1) wyliczamy łatwo, że wszystkie zera tego równania dane są ? wzorem    I

(2)

= (1 /i) ——-, gdzie eⁿ — a i e ^ —1. 1 + £

Analogicznie jak w zadaniu 6, dla ( = exp iip —1 mamy

(3)

C

i + C

'^it§ 2*

Niech tp — Arg a, wtedy pierwiastki stopnia n z liczby a wyrażają się wzorami

(4)    e_k — exp[(<£ + 2h7c)i/n], k = 0,..n — 1.

Z własności I.ll.l(e) i z (4) wynika, że £*, = -1 dokładnie wtedy,

{(p + 2hir)/n = 7r + 2ln dla pewnego le Z.

(5)

Ponieważ cp £ (—7T, 7r], więc dla k € {0,    — 1} mamy —v <1

(<p + 2kn)/n < 3ti. Stąd i z (5) otrzymujemy    >

(6)

(e* = -1) ^ ((<P + 2kn)/n - tt)

Z (2), (3), (4) i (6) wynika, że wszystkie zera równania (1) dane są wzorami

{p —|- 27T &

(7) Zk - — tg    —, k = 0,..n - 1 i k ^ (im - ę?)/27T.

Rozważmy teraz równanie (a). Oznaczmy lewą stronę równania (a) przez f_a(z). Łatwo zauważyć, stosując wzór dwumianowy Newtona, że

(8)    f_a(z) = (1/2i) [(1 + iz)ⁿ - (1 - iz)ⁿ]

oraz że wielomian f_a(z) jest stopnia n dla n nieparzystych i stopnia n — 1 dla n parzystych. Z (8) wynika, że równanie (a) można zastąpić równaniem równoważnym

(9)

(1 -iz)ⁿ = (1 + 22)".

Liczba i nic jest zerem równania (9), zatem można zastąpić je równaniem równoważnym

(10)

fi —iz \l + iz

n

= i.

Ponieważ równania (a) i (10) są równoważne, więc z (1) i (7) dla a = 1 wynika, że wszystkie zera równania (a) dane są wzorami

Zk — ~ tg —, k = 0,.. .,n — 1 i k^nf 2. n

Zatem dla n nieparzystych równanie (a) ma n rozwiązań, a dla n parzystych n — 1 rozwiązań.

Rozważmy równanie (b). Oznaczmy lewą stronę równania (b) przez fh(z). Łatwo zauważyć, stosując wzór dwumianowy Newtona, że

(11)    f„(z) = (1/2) [(1 + izT + (1 - iz)ⁿ] oraz że wielomian fb(z) jest stopma n dla n parzystych i stopnia n — 1 dla n nieparzystych. Z (11) wynika, że równanie (b) można zastąpić równaniem równoważnym

(12)    (1 - iz)ⁿ = -(1 + iz)ⁿ.

Liczba i nie jest zerem równania (12), zatem można zastąpić je równaniem równoważnym

(13)

1 + iz

= -l