chądzyński3

I

I

2. FUNKCJE ZESPOLONE

42

I

-    i*

L(z) = L(i(z — P (z))) jest w K gałęzią logarytmu funkcji f i » L(0) = 1(1) = 0.

To kończy rozwiązanie.    □ %

Zadanie 12. Pokazać, ze:

(a)    w żadnym sąsiedztwie punktu i oraz —i nie istnieje gałąź arcusa tangensa,

(b)    w żadnym sąsiedztwie punktu 1 oraz —1 nie istnieje gałąź

arcusa sinusa.    t

Rozwiązanie, (a). Przypuśćmy przeciwnie, że w pewnym sąsiedztwie * punktu i istnieje gałąź arcusa tangensa T. Niech C będzie okręgiem $ o środku w punkcie i i promieniu mniejszym od 2 zawartym w tym ^v sąsiedztwie. Wówczas funkcja T jest ciągła na C i

(1)    tg T{z) = z dla z € C.    }■

Funkcja P : C 3 z i—> 1/ cos T(z) jest ciągła oraz, na mocy (1) i prostych własności funkcji trygonometrycznych, dla z £ C mamy

[1/ cosT(z)]² = [t gT(z))² + 1 = z² + 1.

Zatem funkcja P jest na C gałęzią potęgi /^1/2, gdzie f : C 3 z ^ \ (z — i)(z + i). To jest sprzeczne z zadaniem 8(c), bo punłct i leży ■wewnątrz C, a punkt —i na zewnątrz C. Analogicznie pokazujemy, że | w żadnym sąsiedztwie punktu —i nie istnieje gałąź arcusa tangensa. | (b). Rozwiązanie poprowadzimy nie wprost. Analogicznie jak w | (a), istnieje okrąg C o środku w punkcie 1, promieniu mniejszym od | 2 i funkcja T ciągła na C taka, że

(2)    sinT(z) — 2 dla 2 € C.    £

Funkcja P : C 3 z 1—► icosT(z) jest ciągła. Na mocy (2) dla 2 £ C f mamy    |

{icosT(z)}² — [sin T(2)]² — 1 — z² — 1.

Zatem funkcja P jest na C gałęzią potęgi gdzie / : C 3 z •—> £ (2 — 1)(2 T 1). To jest sprzeczne z zadaniem 8(c), bo punkt 1 leży | wewnątrz C, a punkt —1 na zewnątrz C. Analogicznie pokazujemy, § że w żadnym sąsiedztwie punktu —1 nie istnieje gałąź arcusa sinusa. ? To kończy rozwiązanie.    □

J

Zadanie 13. Niech K — {z fc C : | 2! < Rj i niech <p_v, gdzie | M > R oznacza gałąź potęgi (l+ ^ w kole K, przyjmującą w | punkcie 0 wartość 1. Pokazać, że ydąży jednostajnie do expz, gdy \i/\ oo.

Rozwiązanie. Należy pokazać, że dla dowolnej liczby e > O istnieje liczba N > O taka., że dla dowolnych v, 2; takich, że ji/| > 7V i z <£ I\, zachodzi nierówność

(1)    \ip_v(z)-expz\<e.

Łatwo zauważyć, że funkcja yŁ jest określona wzorem

(2)

Weźmy teraz dowolną liczbę e > 0. Niech K] ~ {z £    : \z\ <

i?+1}. Funkcja exp jako ciągła w Ki jest jednostajnie ciągła. Zatem istnieje liczba <5 € (0,1) taka, że

^z',zeh\{\z' — z\ < 5 => [ expz — exp£j < e).

W myśl twierdzenia L33-3, funkcja Log ma w punkcie 1 pochodną równą 1. Zatem dla powyższej liczby 6 istnieje liczba 7} G (O, 1) taka, że dla dowolnego h G C takiego, że O < \h\ < 7}, mamy

Weźmy teraz N = R/tj. Wtedy dla dowolnych n, 2 takich, że \v\ > N i z £ K, mamy \zjv\ < R/\u\ < r). Stąd, kładąc w (4) /?, — zjv, dla z 7^ O mamy

W konsekwencji dla dowolnych //, z takich, że \i/\ > N i z £ K, dostajemy

Z (6), (5) i (3) dostajemy