chądzyński
4

] 8 2. FUNKCJE ZESPOLONE

oraz z powyższego

tg* x = tgx dla x G 1R\ {(tt/2) + rnt : n G Z}, ctg* x — ctg x dla j£R \ {nr : n G Z}.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, że funkcje tg, ctg nie przyjmują wartości ±i.

Rozwiązanie. Dziedziną funkcji tg jest zbiór G\ = C \ {(7r/2) + nr : n e Z}, a dziedziną funkcji ctg - zbiór G₂ = C \ {n?r : n G Z}. Z definicji funkcji tg, ctg, sin i cos mamy

w

(2)

expżz — exp(—iz)

tg Z = -l-: -J—rr

exp iz +■ exp(—iz)

,exp iz + exp(—iz)

ctg z - i-r--t—rr

exp?z — exp(—iz)

dla z G Gi, dla z G G₂.

Gdyby na przykład dla pewnego zi G C?i, tg z\ = i, to z (1), łatwo dostalibyśmy exp iz\ — 0, co jest sprzeczne z własnością I.ll.l(c).

Analogicznie, gdyby na przykład dla pewnego z₂ G G2,ctgZ2 = i, to z (2), po prostych rachunkach, mielibyśmy exp(—iz₂) = 0, co jest sprzeczne z własnością I.ll.l(c).

Podobnie dochodzimy do sprzeczności w pozostałych przypadkach.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech jzą, z₂ G C \ {(nr/2) ■+ nr : n G Z}. Pokazać, że ; tg Zi = tg z₂ dokładnie wtedy, gdy z-i — z₂ G {nr : n G Z}.

Rozwiązanie. Jeśli tg z\ = tg 22 > to z określenia funkcji tg mamy exp?zi - exp(—iz\) _ expzz₂ — exp(—iz₂) exp izi + exp(--hćą) exp iz₂ -t- exp(—iz₂)

Stąd dostajemy    j

exp 2iz_l — 1    exp 2iz₂ — 1

exp 2iz\ -t- 1    exp 2iz₂ + 1 ’    r

co po prostych rachunkach daje    j

(1)    exp 2izi — exp 2iz₂.    i

Z własności I.ll.l(e) i z (1) dostajemy, że z₁ — z₂ G {n7r : n G Z}. i;

Jeśli zi - 22 6 {nr : n G Z}, to z ćwiczenia 1.11.1 (a) dostajemy j tgzi = tgz₂.    j

To kończy rozwiązanie.    Q

Zadanie 4. Niech Z\,z₂ G C. Pokazać, ze sinzj = sin z₂ dokładnie wtedy, gdy Z\ — Z2 G {27rn : n G Z} lub z\ + z₂ — tt G {27rn : n G Z}.

Rozwiązanie. Połóżmy A := {27rn : n G Z}.

Jeśli sin Z\ — sin z₂, to z określenia funkcji sin mamy

expizi — exp(~z2i) — expz2T2 ~ exp(—izq).

Stąd mamy

exp 2 %Z\ — exp i{z\ + z₂) + exp i(zj — z₂) — 1 = 0,

co daje

exp[z(zi + z₂) + i{z\ — z₂)\ — expi(^i + z₂) + exp?(z₁ — z₂) — 1 = 0. Stąd po prostych rachunkach dostajemy

(exp z(zi — z₂) — l)(exp i(z\ + z₂) + 1) = 0.

W konsekwencji

expż(2:₁ — z₂) = 1 lub expż(zj + z₂) = expŻ7T.

Stąd i z własności 1.11.1 dostajemy Zi — z₂ G A lub z\ + z₂ — 7r G A.

Jeśli — £2 € A lub zi 4- z₂ — 7r G A, to z własności 1.11.3 dostajemy, że sin Z] = sinz2-

To kończy rozwiązanie.    O

Zadanie 5. Niech e będzie liczbą dodatnią i niech E = C\ U_nezi^z ^ C : \z — n7T| < e}. Pokazać, ze istnieje stała C > 0 taka, ze

(*)    |l/sin ,z| < (7, |ctgz|<(7 dla każdego z € E.

Rozwiązanie. Niech y = Im.z. Wówczas, z określenia i z własności funkcji sin i tg, dla \y\ > 1 mamy

jsinz| >

j | exp iz\ — | exp(—iz) 11 2

exp(-y) ~ cxpy 2

— |sinh y\ > sinh 1