chądzyński3

36 2. FUNKCJE ZESPOLONE

mocy zadania 4 dla dowolnego k £ {1,..n} istnieją funkcje ciągłe A_k i L_k takie, że

(2)    expP4_fc(i) = 9k(t)/\g_k{t)\_t expL_fc(t) = g_k(t) dla t £ I_k.

Stąd, dodając ewentualnie do A_k wielokrotność 27r, a do L_k wielokrotność 27TZ, możemy dodatkowo założyć, że

(3)    A_k(t_k) = dl_fc+1(tfc),    = L_k+1(t_k) dla /c = 1,..n - 1.

Określmy funkcje A : I —*■ M i L : / —> C wzorami

A(t) — A_k(t), L(t) = L_k(t) dla t £ I_k i k = 1,.. .,n.

Z (3) wynika, że funkcje A i L są ciągle, a z (2), że

exp zyl(f) = g{t)/\g{t)\, exp L(t) = ^(<) dla t £ /,

Reasumując, fmikcje .4 i k są odpowiednio gałęzią argumentu funkcji g na I i gałęzią logarytmu funkcji g na I.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 6. Niech E C C będzie zbiorem spójnym i f : E —► C*. Pokazać, ze jeśli na E istnieją dwie gałęzie potęgi f* (gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną), to iloraz tych gałęzi jest stały na E.

Rozwiązanie. Niech Pi, Po będą dwiema gałęziaim potęgi f^a na zbiorze E. Wówczas P_1; P₂ są ciągłe, nigdzie nie znikają na E i dla każdego z £ E istnieją liczby całkowite k_z, l_z takie, że

Pi (z) — exp(n Log /(z) -i- 27riafc₂),

P₂(z) = exp(a Log f(z) + 2nial_z).

Stąd funkcja P\/ P₂ jest ciągła i dla każdego z € E

P₁(z)/P₂{z) £ {exp27rian : n £ Z).

Zatem na mocy zadania 1 funkcja P\/P₂ jest stała.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 7. Niech a £ C i f:V3z'-^z~a£C. Pokazać, ze na żadnym okręgu o środku a, tym bardziej więc w żadnym sąsiedztwie tego punktu, nie istnieje ani gałąź argumentu f, ani gałąź logarytmu f, ani gałąź potęgi f^a, gdy o £ C \ Z.

Rozwiązanie. Podzielmy rozwiązanie na trzy części.

2.5. GAŁĄŹ ARGUMENTU, LOGARYTMU I POTĘGI    37

Pokażemy najpierw, że na żadnym okręgu o środku a nie istnieje gałąź argumentu /. Przypuśćmy przeciwnie, że na pewnym okręgu C o środku a i promieniu r istnieje funkcja ciągła A taka, że exp z A (z) — f(z)/\f(z)\ dla z € C. Na okręgu C leży dokładnie jeden punkt z*, dla którego Arg(z* — a) = tt. Oczywiście z* — a ~ r. Połóżmy C* := C\ {z*}. Na zbiorze spójnym C* funkcja Arg o/ jest również gałęzią argumentu /. W myśl twierdzenia 1.13.2 istnieje liczba całkowita k taka, że A{z) = Arg o f{z) + 2nk dla z £ C*. Weźmy teraz dwa ciągi punktów z'_n = a + r exp((—tt + £)i), z" = a + r exp((7r - leżące na O*. Oczywiście z'_n—> z* i 2:" —+ z‘. Mamy

1

lim Argo/(4) - lim (-tt 4- -) = -tt,

n—>00    n—s-oo    77

lim Arg 0/(z")    = lim (77 - -) = 7r.

n—+00    n-^no    77.

Stąd lim^oo A(^4) — — 7r + 27rA-; i lim^oo A(z") — 7r + 27rA;, co przeczy ciągłości funkcji A w punkcie 2*.

Pokażemy teraz, że na żadnym okręgu o środku a nie istnieje gałąź logarytmu /. Przypuśćmy przeciwnie, że na pewnym okręgu C o środku a i promieniu r istnieje funkcja ciągła L taka, że exp L(z) = f(z) dla z € C. Wtedy, w myśl własności 1.13.2,funkcja Im L byłaby na C gałęzią argumentu funkcji /, co jest sprzeczne z pierwszą częścią rozwiązania.

Pokażemy na koniec, że na żadnym okręgu o środku a nie istnieje gałąź potęgi /^a, gdy a 6 C \ Z. Przypuśćmy przeciwne, że na pewnym okręgu C o środku o i promieniu r istnieje funkcja ciągła P taka, że P{z) € [/(z)]^a dla z 6 C. Analogicznie jak w pierwszej części rozwiązania, na zbiorze spójnym C* funkcja Log o/ jest gałęzią logarytmu /, a więc funkcja

2 exp((a Log/(»)

jest gałęzią potęgi /“ na zbiorze spójnym C*. W myśl zadania 6, istnieje stała c taka, że

(1)    -P(z) — cexp((o!Log f{z)) dla z G C*.

Weźmy teraz dwa ciągi punktów z'_n — a + rexp((—7r ■+■ ~)ż), z" = a + rexp((7T — ~)i) leżące na C*. Oczywiście z'_n —> z* i ^ —> 2*.