DSC07307

36

Liczby zespolone

a) argr = —; c) « < arg(i'=) < 2w;

e) j < arg(-z) <

b) £ < arg(s+3t) < d) arg (z⁶) = w;

,_N 3jt

f)arg(ż-l-2i) = _T.

• Zadanie 1.11

Obliczyć wartości podanych wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej):

a) (I-O";

d) (cosj -

b) (l + %/3i)⁸;

M^l° » a + 0” -

*'■ ’    (l-tV3)⁶’

c) (2\/3 — 2i)³⁰;

„ / . 7T    7T\²⁴

f) (s,n- + tcos-j

•    Zadanie 1.12

Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić:

a) sin 3x przez funkcję sin z; b) cos4x przez funkcje sina: i cos z; c*) tg6z przez funkcję tgx; d*) ctg5x przez funkcję ctgz.

•    Zadanie 1.13

Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki: a) Im (z³) <0:    b) Re (z⁴) > 0;

c) Im (z^J) > Re [(z)²]; d) Im> 0.

•    Zadanie* 1.14

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć: ] a) sin z + sin 2z-r ... + sinnx;    b) cos a: + cos2x + ... + cosnz;

c) i +cosx + cos2z +... + cosnx\ d) sini + sin 3x + ... + sin(2n — l)x; e) l + (l-i) + (l-i)² + ...+ (l-i)";

⁰ (o) ‘ G) ⁺ (4) " •- ^{+ (}"¹⁾ⁿ (₂m)' ^{gdzie 71 € N} oraz m = E (|) . 'ł

•    Zadanie 1.15

Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej rozwiązać podane równania: a) z⁷ = 5; b) (?) = z²|**|; c) (ź)² |z²| =

d)    |zf = iz³; e) z* = (z)⁶; f) |z*| = z⁴.

• Zadanie 1.16

Stosując wzory Eulera wyrazić podane funkcje w postaci sum sinusów i cosinusów wielokrotności kąta z:

a) sin³ z; b) cos² z; c)sin*z; d) sin⁴ z + cos⁴ z.

•    Zadanie 1.17

Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki: a) - 12i; b) >/—11 + 60i; c) \Ti\ d) ^16.

•    Zadanie 1.18

Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki: a) \/-l + v/3i; b) ^=27i;    c) ^=4; d) ^=64;

e) ^32i;    f) ^=T+T; g¹) <fi\    h¹) {/f+Ti.

•    Zadanie 1.19

Odgadując jeden z elementów podanych pierwiastków obliczyć pozostałe elementy tych pierwiastków:

a) ^(5 —4i)⁴i b) </(-2 + 3i)<; c) V(2^if; d) {/(2-2i)⁴.

•    Zadanie 1.20

Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z\ = 4 — i. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu, jeżeli jego środkiem jest: a) początek układu współrzędnych; b) punkt u = 1; c) punkt u = 3 + i;    d) punkt u = 7 + V2i.

1

   Zadanie 1.21

Znaleźć rozwiązania podanych równań:

a) z¹ = (1 - i)⁴; b) (z - l)⁶ = (i - ż)«; c) z³ = (iz +1)³-