4505

36

Liczby zespolone

Roxwbtxxr»kr *) Niech x sjp. xdeie Stąd ** + 2ir» -p* «

. * 6 /ł, będzie pukanym

4i — 3. Rd»vnaitie to jczt

pierwiutkiem. Wt.-dy (x --f i v) równowA/nr układowi równaii

a

4«-l

r*² -    — —3.

Ro»*ri»unicni lego układu równarS s.> pary licxt>: x » 1 , y «■ 2; ^{r 53    1} ' ^y ~ ”²' ^ZM<m

3 «    ^ 3«> .

b) Niech x + ■ jr. gdzie    € 7ł. będzie szukanym pierwianlkicm. Wtedy (z -f »>)* * i

Sc«d x³ + 3ir^ay - 3xy^J _ _a-_y* _₌ a. Rdwnanic to Jest równoważne układowi równań

/ x* — 3zy² = S_p \ 3x²y — V³ = O.

Z drugiego równania lego układu wynika, że y *» O lub 3r³    = v²- Wykorzystują le

laJrinośa w pierwzzyrn równaniu układu otrzymamy x³ = 8 łub —8x³ = 8. St<jd z » 2 Jub r « -I Ostatecznie rozwiązaniem układu równań -*ł pary liczb: x * 2. y * O; x = — 1. y “ V5; r = — 1, y ₈ —v/3- Zatem    » { 2, —J -f- » v/3, — I — i v/3| -

• Przykład 3-4

Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki: a) —2i; b) \/—-S -f 8>/^;

Rozwieranie

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na pierwiastki .stopnia n z liczby zespolonej z ^ O O argumencie *5. Wzór ten ma postać:    = {*(>*    * - • - .    —i } » gdzie

„ = t/R (co.    +. i ain r + 2*?)    d.«- *» O,

a) Dla * = — 2r mamy |xf = 2 oraz arg r =    Zatem

-2i = | v/*2 ^ cos

-f- 2&-    .    ^ -ł- 2Xr

-*— --h * sin -a—

)^: * = °’^ł}

Dla 1 bO mamy

*o

Dla 4 = 1 otrzymujemy

v/2

*i * v/2 ^cos ^ + i sin —= >/2 ^ ^ _

Zatem v/—2* *» f — 1 -4- z. 1 — «>

Tak więc

j|_a k = O. 1.2,3 mamy odpowiednio

*o = 2 (		2(^+>i).v3+	ii
*» =^2(			-1 + V3t
n 1	r 7ir , . . 7jt\	— o( ^ *A	/r
*2 — ^2 (	c09_ + t8m_-j		—v3 — i,
*3=21	f 5* , . . 5*\ _ + łsm — J		-V3i.

Stąd y-8 ₊ 8\/3i = {\/3 + i,-l -f y/3i,- i, 1 - >/3t} c) Dla : = 1 mamy |*| = 1 oraz arg z = 0. Zatem

v^J = |vl ^cos----1- i sin —

Tak więc dla k = 0, 1,2,3.4, 5 mamy odpowiednio

20	= 1 (cos 0 + i sin 0) :	= l.		*»	= 1
	. / 2 7? = 1 ^ cos — + i sin	¥)	- ^1 -4. ^V^- "“2 ^+ "T*•	23	= 1
*ł	_ , / -lir — II COS —_ 4i t utn		_ 1 >/3 .
	y ^N/° ,j T • SIU	3 J	2 T*’	23	= 1

, (    5*

= 1^0,— +.

5ir \    1

sin i = —

3 )    2