44 (426)

96    ' I- ^:    Liczby zespolone

Stąd rozwiązaniami równania z³ — 2i = 0 są

z₀ = ^2 (cos I + .sin £) = &    + r) >

z, = ^ (cos 51 + .sin = ^2    + i.) ,

Z2 = \^2 (cos + isin    j = — v^2i.

Zadania

3 Zadanie 1.1

Obliczyć podane wyrażenia:

^a) (^{2 +} ?*) (^{5 +} *')’ ^b) (³ ~ 0(-⁴ + ^2l')i ^c) (j ^{+ l}) i

(1 + 0 (2-0

^d) (i + 0⁴;

e) (—2 + 3i) ,

0

2 + 3.

g)

I-i’    (1 - O²

> Zadanie 1.2

Niech z = x + iy, gdzie x, y G R. Znaleźć podane wyrażenia:

a) Re (z²); b) e¹*¹;

c) |z²|;    d) |z" |;

e) Im (z³); f) Re (zz²); g) Im    h) Re    '

> Zadanie 1.3

Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę e^,v>, gdzie <p 6 R :

-i -ni

a) e*'; b) e ² ; c) e² ; d) e^2klri dla k G Z ) Zadanie 1.4

Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej (jeśli jest w miarę prosta). Podać interpretację geometryczną: a) n/T; b) 1; c) ^27- d) ^-T+7.

Zadanie 1.5

Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami: a) |z — 11 < 1;    b) 2 < |z + 2«j <3;    c) (z — 1 + tj > 3;

d)(X|l-i-z|<4;    e)|2tz+l|^2;    f)|z-«j=Rez;

g) ^ < arg(z - 3 + .) ^    h) \z - .j = |z - 1|;    i) 0 ^ Re(.z) < 1.

Zadanie 1.6

Rozwiązać podane równania:

a) z² + 4z + 5 = 0;    b) z² + (2 - 4.)z - 11 + 2. = 0;

c) z³-4z²+ 6z-4 = 0; d) z³ - 8 = 0.

Pierwszy tydzień - odpowiedzi i wskazówki

97

1    3

^_2 ⁺ 2‘-

zy²;

Odpowiedzi i wskazówki

^{1.1    a}) T⁺T’^{; b}) ~^{10+10,; c}) “jf + £«'; ^d) ~⁴' ^e) ⁴⁶ + 9i; ^f) “5 + |*; g)

1.2    a) z² - y²; b) t^***-, c) z² + y²; d) (z² + y²)"^/2; e) 3z²y - y³; f) z³ +

_g)__?£5L__{; h})_¹ +~ y²_.

z² -f y² 1 + 2z² — 2y² + z⁴ + 2z²y² -f y⁴

1.3    a) —1; b) i; c) —i; d) 1.

1.5 a) wnętrze kola o środku 1 i promieniu 1; b) pierścień o środku —2i, promieniu wewnętrznym 2 i promieniu zewnętrznym 3, bez brzegu; c) zewnętrze kola o środku 1 — i i promieniu 3; d) kolo o środku 1 — » i promieniu 4 bez punktu 1 — i; e) zewnętrze

kola o środku ij i promieniu 1 wraz z brzegiem; f) pólprosta Imz = 1, Re z ^ 0;

g) obszar kątowy o wierzchołku 3 —i ograniczony pólprostymi tworzącymi kąty — i \x z

4    3

dodatnią pólosią osi Re z bez pierwszej z tych pólprostych; h) prosta będąca dwusieczną pierwszej i trzeciej ćwiartki układu współrzędnych (y = z); i) pas ograniczony prostymi Im z = —1, Im z = 0 bez tej pierwszej prostej.

1.6 a) —2 — i, —2 + i; b) 2 + i, —4 + 3i, Wskazówka. A = 32 — 24», y/A = a + bi, wtedy (a + 6i)² = 32 - 24i itd.; c) 2,1 - i, 1 + i; d) 2, -1 - y/3i, -1 + y/Śi.