img004 3

Zadanie 3. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki stopnia czwartego z liczby zespolonej z — —1.

Rozwiązanie. Znajdujemy postać trygonometryczną liczby z — —1-Dla tej liczby a = -1, b = 0,

=    = V(-i)² + O² - VT = 1,

cos tp —    — -1, Sin(^ = Y = 0.

Stąd <p = 7r i z = l(cos7r + ż sin 7r).

jeśli z = |z| (cos ip + i sin <p), to wszystkie pierwiastki stopnia n G N wyrażają się wzorem

ip + 2kTT . . .    <£> + 2fc7T

w_k= V z cos

+ isin

n

n

gdzie k G {0,1,n — 1}.

Wobec tego, dla z = -1 = 1(costt + isinTr) wszystkie pierwiastki czwartego stopnia wyrażają się wzorem

TT 4- 2kn    7T + 2fc7T.    7T + 2fc7T . . 7T + 2&7T

w_k = ^I(cos    + isin    ) = cos —— + *sm —j—,

gdzie k G {0,1, 2, 3}. Stąd

7T + 2 • 0 • 7T

Wq — cos

+ isin

7T + 2 • 0 • 7T

mi = cos

7T + 2 • 1 • 7T . . 7T + 2-1-7T

•--H sm---=

u>2 = cos

+isin

1^3 = COS

7T + 2- 3- 7T .. 7T + 2^>3-7T --—H sm-:-

7r

4

3

4^?

5 4^?

7

4⁷

3

4

4

5

4

7

4

2 ^+V2	2 V2
1 1	2
V2	V2
2	2
	V5. 9
2	2

_ %/2    ,    n/2

Odpowiedź: mo =    ^    "^2    ₂    2 ^ ^oraz

»3 = f ~

3