3582525307

Oblicz pierwiastki liczby zespolonej: \J—2i Rozwiązanie:

z — —2 i

Przekształcam do postaci trygonometrycznej:

» \z\ = 2

» tp = 270° = 180° + 90° = tt +

(^C

l<M

_n . 3tt . 37t

> z = 2 ( cos — + i sin —

Liczba zespolona z ma 3 pierwiastki 3 stopnia 3>

\fż= {^o, 011,012}

które liczę ze wzoru

Wfc

(cos

+ 2kn    <p + 2kn

--h i sin —-

Dla A; = 0

_3/-( f +2-0-7T    .. f +2-0-7t\

= V2 ( cos -2---+isin -2---J =

3 TT 2

^_cos__+zsin_

= #2(<

Dla k = 1

= \[2 (cos ^ + i sin = » = y^O + i- l) = S^2i

3:r

,/s/    ^+2-1-77    ..    + 2-l-77\

wi = v2 I cos —----1-1 sm —--- I =

= y/2. ( cos ■

377 ■ 477    37r i 477

^{2 + 2} + i sin ² t ²

= ^(cos(f .i)_+<si„(|.|)) =

_3/- ( 7n . . 7n\

= V 2 cos--1- tsm —    =

V 6    6 )

= ś/2 (cos (77 + +i sin (77 +    = »

= ^2(-c°s£+;(-sin£)) =

3/^ v/3    1    ^2-y/3

--—¹”

s/2- s/Ś = 23 .35 = ((2²)') '¹ • ((3³)") ² = 4« • 27^ = </l08

^108    y/2.

2 2 *

Dla A = 2

_3/- (    + 2 • 2•7r

U2 = V 2 [ cos —---

V    3

^ + 2-2-7r + i sin —---

/    37r 1 8tt    3tt i 8tt

+ i sin ■

- ^2(cos^—-Ł- ' — ^{2    2}

/ 117T    1

v“ ' 3

= </2 (cos (+: ■ ł) +*sir

3/rr (    117T . .    117T \

= V 2 cos--- +1 sm ■—■    =

V 6    6 J

= y/2 (cos (27r - ^ + isin (277 - ^)) = » = ^2(_C0S| + »(—isinj)) =

s/2 ■ \/3    s/2, .

\/IÓ8    s/2.

„    \ 3/k-    ^108    s/2.    \/lÓ8    s/2.

Odp. Pierwiastki 3 stopnia liczby —2t to < \/2i,------— 1, —----—*