liczby Z
2

^^pierwiastkowanie liczb zespolonych__

4. pierwiastkowanie liczb zespolonych

Definicja 2.4.1. Liczbę w nazywamy pieruna spolonej z (n € N), gdy    ^y pten"'™tkiem

29

u-tego stopnia z liczby ze-

O pierwiastkach stopnia naturalnego z li v twierdzenie.    ^ ^z hczby

zespolonej mówi następujące

Twierdzenie 2.4.1. Każda liczba zespolona z = |z|(cosQ+j sin a) różna od zera _ma dokładnie ~ ych pierwiastków n-tego stopnia i wszystkie one określone

są wzorem

^/ a + 2kn . a + 2/ctt - -f j sin -

Wk = \/\z\ (cos

n

n

(2.28)

Pierwiastki n-tego stopnia

gdzie k = 0, 1, ..., n — 1, a >/fJ| j_est pierwiastkiem arytmetycznym.

Pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej z

Dowód. Liczba w = |w|(cos -f jsin u>) ipet

wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą następuj^rrlJrwtlnTścT^{1680    Z Hczby 2}

• +    <■ *^Ł'‘”^l—>

o ⁽''“I_W⁺J^smnr) ₌ |z|(cosc + j sin a) (ze wzoru de Moivre’a) « M -Iz! . -o + 2 far dla łfZ    (z równości liczb)

« W- VR i    _{dla fesz}

« we |ui» = i/H(co5a±^i₊j_si„aiJii)_:t€Zl _=T>

Dl, zakończenia dowodu wystarczy teraz pokazać, że liczby uio, .1    s, różne

iP C (tc₀, W1, ■ • • »™n-ił- ^W tym celu zauważmy najpierw, że dwie liczby w_k i w, ze zbioru V są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

₌    ą. 2mn dla pewnej liczby m e Z

<=> k = / + mn dla pewnej liczby m £ Z

/ci / różnią się o całkowitą krotność liczby n.

Ponieważ żadne dwie liczby ze zbioru {O, 1,..., n — 1} nie różnią się o całkowitą krotność liczby n, więc liczby wo, w i,..., w_n-\ są różne. Niech teraz wi będzie dowolnym elementem ze zbioru V. Ponieważ liczba / różni się o całkowitą krotność liczby n od dokładnie jednej liczby k ze zbioru {O, 1,... ,n — 1}, więc wi = Wk. Stąd V C {wo, wu ... ,Wn-i} i to kończy dowód twierdzenia. □

Moduł każdej z liczb określonych wzorem (2.28) jest równy y/\ź\^ więc wszystkie one leżą na okręgu o promieniu y/\z\ i środku w początku układu współrzędnych. Dodatkowo, dzielą one ten okrąg na n równych części, bo arg(wfc) arg(wk-i) = 27r/n dla k = 1,... ,n - 1. Równoważnie, pierwiastki w_0l wi, • • • > w_n_ i stopnia n ) 3 z liczby zespolonej z są wierzchołkami n-kąta foremnego wpisarfego w okrąg o promieniu \/\z\ i środku w początku układu współrzędnych.

Przykład 29. Obliczyć pierwiastki stopnia trzeciego z liczby

2 = 1 +jy/3.

Ponieważ \z\ = \l + jV3| = 2 i cosa = \ oraz sina = więc można przyjąć, że arg(2)=|. Wtedy (na podstawie (2.28)) pierwiastkami stopnia trzeciego z liczby