05

16

Liczby zespolone

•    Definicja 1.3.3 (pierwiastek z liczby zespolonej)

Pierwiastkiem stopnia n e N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w taką, że

w" = z.

Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby z oznaczamy przez t/z.

•    Fakt 1.3.4 (wzór na pierwiastki z liczby zespolonej)

Niech z -fi 0 i niech z = r (cos ip -F isin ip) będzie przedstawieniem liczby z w postaci trygonometrycznej. Wtedy dla n € IV mamy

gdzie

dla k = 0,1,..., n — 1.

Uwaga. Niech z 0 i niech z = re'^v będzie przedstawieniem liczby z w postaci wykładniczej. Wtedy

Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków

1.3.1).

Pierwiastki n-tego stopnia z liczby z tworzą wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu t/r (rys.

Rys. 1.3.1. Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej. O Ćwiczenie 1.3.5

Obliczyć podane pierwiastki z liczb zespolonych:

a) V^8; b) s/-2 - 21; c) V-3 + 3^3:; d) ^16.

Odpowiedzi i wskazówki

17

1.4    Odpowiedzi i wskazówki

3    11

1.1.4    a) 1 — i; b) —i/2 — 2t; c) —5 — 10:; d) ---—e) 3 — 4t; f) —9 — 46t.

r

1.1.5 a) 1.2.3

x

x² + y²’

2xy + y (x + l)² + y⁷

; c)

2x^ł + 2y^; — 2y x³ - 3xy² x² + (y - l)²    x² + y²

i