0015

16

Liczby rzeczywiste

być spełniona tylko dla skończonej liczby wartości n; dla pozostałych jest

Io"^<e-

Z uwagi tej na podstawie lematu 2 można wywnioskować, że liczba różna od a nie może spełniać wszystkich nierówności (1) lub (la) dla liczby a, a więc ma jako przedstawienie nieskończony ułamek dziesiętny, różny od przedstawienia liczby a.

Wynika stąd w szczególności, że przedstawienie liczby nie równej żadnemu ułamkowi dziesiętnemu skończonemu, nie ma ani zera, ani dziewiątki w okresie — ponieważ każdy ułamek z zerem lub dziewiątką w okresie odpowiada skończonemu ułamkowi dziesiętnemu.

Odtąd czytelnik może wyobrażać sobie liczby rzeczywiste jako nieskończone ułamki dziesiętne. Wiadomo, że okresowy ułamek dziesiętny przedstawia liczbę wymierną i odwrotnie, każda liczba wymierna rozkłada się właśnie na ułamek okresowy. Tak więc, wprowadzone właśnie przez nas liczby niewymierne mają za rozwinięcia ułamki nieskończone nieokresowe. (Uwaga ta może również służyć za punkt wyjścia dla budowy teorii liczb niewymiernych).

Uwaga. W dalszym ciągu będziemy nieraz korzystali z przybliżeń wymiernych a i a' liczby rzeczywistej a,

a<ct<a ,

których różnica może być dowolnie mała. Dla liczby wymiernej istnienie liczb a i a' jest oczywiste; dla liczby niewymiernej jako a i a' można by wziąć np. przybliżenia dziesiętne C„ i C'_n przy dostatecznie dużym n.

10. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych. Przejdziemy teraz do rozpatrzenia jednej bardzo ważnej własności zbioru wszystkich liczb rzeczywistych, która istotnie odróżnia ten zbiór od zbioru, liczb wymiernych. Omawiając przekroje w zbiorze liczb wymiernych widzieliśmy, że niekiedy dla takiego przekroju w tym zbiorze nie istnieje liczba graniczna, o której można by powiedzieć, że określa przekrój. Właśnie ta nieciągłość zbioru liczb wymiernych, występowanie w nim luk, posłużyły za podstawę do wprowadzenia nowych liczb — liczb niewymiernych. Rozważać teraz będziemy przekroje w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Przez taki przekrój rozumiemy podział zbioru liczb rzeczywistych na dwa niepuste zbiory A, A', przy którym

1° każda liczba rzeczywista należy do jednego i tylko jednego (^J) ze zbiorów A, A';

2° każda liczba a ze zbioru A jest mniejsza od każdej liczby a.' zbioru A'.

Powstaje pytanie, czy zawsze dla takiego przekroju A\A' istnieje wśród liczb rzeczywistych liczba graniczna określająca przekrój, czy też w zbiorze tym istnieją luki (które mogłyby posłużyć za podstawę do wprowadzenia jeszcze nowych liczb! ?

Okazuje się, że istotnie luk takich nie ma. ¹

1

Por. notkę na str. 10.