8592539735

14

Funkcje zespolone.

Definicja 3.16. Pochodną funkcji f w punkcie z₀, ozn. f\z₀) lub ^(2₀), nazywamy granicę właściwą (o ile istnieje)

_lim f(zo + Az) ~ f(zo)

Az—*0    Az

W definicji pochodnej funkcji / zmiennej zespolonej przyrost A z = Ax + iAy zmiennej niezależnej 2 dąży do zera przez dowolne wartości zespolone.

Przykład 3.17. Niech f(z) = z².

f'(zo) = lim ^^Z°    -— = lim (2zq + Az) = 2zo-

^K ’    Az—*0    Az    Az—*0^V    ’

□

Jeżeli istnieje pochodna / (20)1 to funkcja f(z) jest ciągła w punkcie zq.

Przy założeniu, że odpowiednie funkcje zmiennej zespolonej są różniczkowalne, pozostają prawdziwe twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, funkcji złożonej i odwrotnej, które są prawdziwe dla funkcji zmiennej rzeczywistej.

Twierdzenie 3.18. (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji zespolonej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma w punkcie zq = xq + iyo pochodną f'(zq), to pochodne cząstkowe    istnieją w punkcie (Xo,y₀) oraz

spełniają w tym punkcie tzw. równania Cauchy-Riemanna:

du    dv    du    dv

dx    dy °^raZ dy    dx'

Warunki Cauchy-Riemanna są konieczne, ale nie są wystarczające dla istnienia pochodnej funkcji /.