s34 35

34

Na podstawie definicji, znaleźć pochodną funkcji w zadanym punkcie.

1. y = x² + 1 W pkt. x₀    2. y = y/i W pkt. x₀ > o

3. y = sin 2* w pkt. x₀    4.y = \nxw pkt. z₀ > ⁰

Obliczyć:

5. y'(l) dla y = §a:³ + 2a:² + 1    6. y’{-2) dla y = \ + x

7. y'(-2) dla y = 4arctga;    8. y'{\) dla y = arcsin y/a

Obliczyć y’ niżej podanych funkcji:

9. y = 3x⁵ -\^x2+x+l

11. y = 2arctga; + 7r 13. y = x⁴(x² + 1)

15. y = (x³+ 2x+ l)⁴

17. y = V^/x²"+4 19. y = (3x + 2)^1 - x 21. y = e³' + 5e^-:1!

23. y = (ar + l)e^-2j;

25. y = xln² a; - 2a: lna; + 2a:

27. j/ = xarctga; - - ln(l + a; )

1 "f* X

29. y = arctg^—-

31. y = a:³ sinx

33. j/ = cos² x

35. y = 3 sin² a; - sin³ x

37. y = sin² x sin x² 39. y — (arcsin a;)² 41. y — -—-—y - arctg.T

1 + X¹

10. y = 10 + 2-\/x +

12. y = 14. y = 16. y =

2x

x — 1 (aa; + b)⁶ 1

(2x + l)³

yfx

\ć3a; + 1

x² - ln(2 - a;²)

xlnx — x

18. y 20. y 22. y

24. y = ln(.T + \Jl + x²)

]

26. y

28. y-30. y ■■ 32. y 34. y

arctga; - arcctg-x

-a;\/l - x² + - arcsin a; 2 2

cos(4a;) - 2 sin | + 3t,gx

cos a;

1 — sin a;

cos(2a;) + 2 sin² x ^x

■ —5--tg^x

36. y

38. y 40. y

42. y = (arccosa; + arcsin a;)

= x arcsin x = x sin x arctgx

43. y = ln^J a 45. y = x sin x ln X

47. y = ln ^arctg^-^^

49. y = arlO¹

51. y = xe^x(cosx + sina;)

53. y = arcsin (sin a)

55. y = sin(e^x2+3x-²)

59. y = a^sinx 61. y = (arctga)^x

44. y = a log a 46. y = x¹⁰⁰ Ina

1 - ln x

48. ^{y =} TTi-

1 4- ln a

50. y — e^x cos a

52. y = sin 2^X

54. y = \Jx^Ą\/x 56. y = sin²(cos 3a) 58. y — x^x

60. y = (lna)^x 62. y = a^x'

63. Wyznaczyć wartości parametrów a i b tak, aby funkcja

ax + b x < 1

/(*)

a² + 1

a > 1

była różniczkowalna w punkcie a = 1.

64. Dla jakich wartości parametru k, funkcja

1

a ^ 0 x

k    x = 0

jest ciągła ? Obliczyć /'(a) w punktach różniczkowalności.

Zbadać ciągłość i różniczkowalność w punkcie a = 0 następujących funkcji:

f(x) =

\

aarcctg-

sina

66. /(a) = a|a|

a sin — a^O

a

a = 0

65. /(a) =

67.    f(x) =

68.    Niech

f(%)

a² sin

0

a^O

x = 0

Zbadać różniczkowalność funkcji / w punkcie a = 0. Czy f jest ciągła w punkcie x 07