18760

Zestaw B

1) Uzasadnić na podstawie definicji, że relacja <p<zZxZ (Z - zbiór liczb całkowitych), taka że:

x (p y <^> [3 me Z x + 4y = 5m]

jest relacją równoważności. Czy (p jest praporządkiem? Wyznaczyć zbiór {.v€ Z: 3 <p .v|

3) Dla jakich wartości parametru ae91, T :9\^: —>    , TU,, x₂) = (3*, +x₂, x_x +(a-2)x₂, x_t +x₂ +a) jest przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych z działaniami naturalnymi? Dla wyznaczonego a oraz zbioru wektorów V = {v, = (1,2), v₂ = (0. -1),v₃ = (-1.1)}. sprawdzić, na podstawie definicji oraz twierdzenia Kroneckcra-Capellicgo. czy zbiór T(V) jest bazą przestrzeni (9C.9C ©. *).

4)    Określić przedziały monotoniczności. wyznaczyć ekstrema lokalne oraz asymptoty pionowe wykresu funkcji f(x) = (x+l)'^/*^r'

1 2

5)    Wyznaczyć ekstrema tunkcji /(*, y) = — + — przy warunku x • y = 8

2x v

7)    Rzucamy trzy razy kostką do gry i każdemu zdarzeniu elementarnemu przyporządkowujemy liczbę wyrzuconych „szóstek”.

a)    Opisać przestrzeń probabilistyczną, zdefiniować zmienną losową i podać jej rozkład;

b)    Obliczyć i zinterpretować wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe;

c)    Zdefiniować dystrybuantę i narysować jej wykres.

8)    Wiek (w latach) Polek rodzących pierwsze dziecko jest zmienną losową o rozkładzie normalnym

/ e N(26, 7). Podać wzór gęstości i narysować jej wykres. Obliczyć, jaki procent kobiet w Polsce rodzi pierwsze dziecko: a) mając co najmniej 20 lat, b) będąc nastolatką (15 - 19 lat). Co która Polka rodzi pierwsze dziecko: c) mając co najwyżej 35 lat, d) będąc w wieku 23 - 28 lat? Wyznaczone prawdopodobieństwa zilustrować na wykresie gęstości. Jaki jest przeciętny wiek Polek rodzących pierwsze dziecko?